精心设计问题串,有效搭建学生探索的桥梁


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[摘  要] 数学教师要善于用问题串来搭建学生探索的桥梁,本文分析了高中数学问题串设计的结构特点,探讨了问题串设计过程中必须把握的几个“度”,并结合案例分析了问题串设计的基本策略.

[关键词] 高中数学;问题串设计;结构特点;策略分析

学生对数学理论的探索源于问题,但是如果我们的课堂仅仅只是为学生提供一个核心问题,这显然是不够的. 毕竟学生的探究能力尚待发展,他们的认知基础和目标问题之间必然存在一条巨大的鸿沟,因此教师要对问题进行分解,通过问题串来引导学生展开分析和探索.

问题串设计的结构特点

结合高中教学的基本特点,笔者认为我们的问题串设计应该在结构上有以下特点.

1. 问题串设计的联系性

问题串首先应该是一个问题组合,它是针对某种数学概念、方法和思想搭建起来的存在逻辑关系和内在关联的问题系列,这一突出的特点即表现为问题串之间的联系性.

2. 问题串设计的层次性

问题串不仅是揭示数学概念和数学理论的工具,更是引领学生逐步深入探究数学理论内涵的桥梁,因此问题串应该呈现一定的层次性,它应该匹配学生认知不断推进的节奏.

3. 问题串设计的渐进性

问题串设计中的每一个情境都应该在保持本质特点不变的前提下,使得事物的非本质特点发生不断地迁移. 为了有效启发学生按照正确的思路进行探索,并且让学生产生有效理解,问题串的设计应该呈现渐进式.

把握问题串设计的几个“度”

教师在设计问题串时一定要注意梯度和密度,如果梯度太大,或密度太小,都可能造成学生思考上的断层,这将严重影响教学的推进;反之,如果梯度太小,或密度太大,则学生的思维力度不强,这也就失去了提问的意义.

教师其次还要把握好问题串的启示程度和暗示程度,如果这一块的程度不到位,这很容易造成课堂氛围压抑,学生的学习效率将大打折扣.

最后,教师还要注意问题串设计的开放度和封闭度,如果问题太过开放,则学生的探究将失去准心,这会降低学生的探索效率,将导致课堂时间的浪费;如果问题太过封闭,则学生的创新思维将被抑制,长期看来这将不利于学生的发展.

问题串的设计策略分析

我们以问题串来引导学生对数学知识进行探索,其目的就是拓展学生认知的广度,让学生能够多层次地推进认知进程,并寻求问题解决的不同途径. 教学实践中,笔者认为数学教学的问题串设计可以在以下方面着力打磨.

1. 问题串设计应有明确的目标意识

我们的教学目标一般是以知识和能力作为核心的目标,问题串的设计尤其要关注这一方面目标的达成. 须知,数学问题的探索是没有边界的,但是在一节课,或一个模块的学习过程中,我们对问题串的设计应该始终以本节课的目标为限度,不能无限制的延伸.

案例:“等比数列”的定义引入.

问题一:中国有句古语:“一尺之棰,日取其半,万世不竭. ”你如何从现代文的角度来理解?如果将“一尺之棰”视作“1”,那么通过“日取其半”的操作,能形成怎样的数列?

设计意图:以上问题就是让学生从“日取其半”的特点来发现等比数列.

师生活动:教师引导学生明确“日取其半”的数学含义,进而启发学生表达出对应的数列.

问题二:取出一张纸来进行对折,然后再进行对折,如此继续,你能依次列举出经过对折处理后的纸张厚度嗎?

设计意图:让学生在实验操作中发现等比数列.

师生活动:教师鼓励学生进行实践操作,并在操作中完成思考,写出数列,形成结论.

问题三:现在的电脑病毒非常猖獗,你能通过数列表达出每一轮被病毒感染的电脑台数吗?

设计意图:让学生对实际问题进行探索,并通过建模操作完成等比数列的发现.

师生活动:教师引导学生进一步明确“每一轮感染10台电脑”中所隐含等比数列的关系,学生结合这一规律完成数列的建立.

问题四:(教师展示某些典型的数列)请观察并研究这些数列,分析它们之间所对应的关系,请和等差数列进行类比,明确上述数列所存在的共同特征.

设计意图:发现数列之间的等比关系,并引导学生对等比数列的概念进行归纳.

师生互动:教师组织学生对数列进行观察,并要求学生分组讨论数列的共性特点,然后再启发学生通过对等差数列进行类比,由此实现等比数列概念的归纳.

案例评析:上述四个问题构成的问题串,从不同的角度围绕等比数列的概念建构这一大目标来对学生施以启发性的影响. 第一个问题以古语来创设情境,有助于数学课堂文化氛围的营造,同时其等比数列的形式也很明确;第二问题侧重于实验操作,让学生在手脑并用的过程中体验概念的形成过程;第三个问题源于生活化的数学情境,在帮助学生建立概念的同时,也训练学生的建模思维;第四个问题则着重发展学生的抽象思维能力,由学生结合对已学概念的类比以及有关实例的分析,最终完成等比数列概念的自我建构.

2. 问题串的设计应有效吸引学生的参与

学生的参与度在很大程度上影响着学生的学习效果,为了提升学生的参与度,教师在设计问题串时务必要注意层次性,这样的处理可以让不同层次的学生都能积极地参与其中,享受数学探索和思考的乐趣.

案例:“二项式定理”的推导.

问题一:乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展开之后,一共有多少项?

生:3×3×5项.

师:请说明你的思考过程.

生:从每一个括号中取出一个字母,构成一项,每一个括号中的项数乘积就是彻底展开之后的总项数.

师:这个思路很正规. 请大家再想想,如果将(a+b)n展开之后有多少项呢?

生:2n.

问题二:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,这里两个式子所展开的项数与上述结论不一样,为什么?

生:因为展开之后还进行了合并同类项的操作,我们之前讨论时,没有区分是合并同类项之前的项数,还是合并同类项之后的项数.

问题三:请同学们计算一下(a+b)4=?

生:(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

师:上述展开式中是否存在一些特殊的规律?通过对比,你能发现什么?

生:我们首先可以看到次数的特点,(a+b)2=a2+2ab+b2是齐二次;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3是齐三次,(a+b)4最后的展开结果是齐四次.

问题四:如果将(a+b)n展开,那么会是齐几次,为什么?

生:应该是齐n次,因此从每一项中都要提出一个字母来进行乘法运算,有n个括号,那么就有n个字母要相乘.

师:除了次数的特点,你们还能发现什么?

生:可以看到项数上的特点,(a+b)2=a2+2ab+b2展开后是三项;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开后是四项,(a+b)4最后的展开结果是5项.

问题五:如果将(a+b)n展开,那么会是几项,为什么?

生:应该是n+1项,这可以从展开式中b的次数找到规律,即分别是0,1,2,…,n,因此一共是n+1项.

师:除了次数、项数等特点,最后的问题自然就是系数了,怎么来确定系数呢?即(a+b)n=(?)an+(?)an-1b+(?)an-2b2+…+(?)abn-1+(?)bn.

问题六:请整理并总结二项式定理.

案例评析:以上设计中,我们通过学生最熟悉的(a+b)2和(a+b)3入手,逐步引导学生分析并探索(a+b)n展开的基本特点. 一系列问题串的设计,都在不断地启发学生关注展开式的次数、项数、系数等特点,由此来引导学生逐步深入地到达最终的结论. 这样的处理不仅有助于学生认知结论的基本特点,方便他们进行理解和记忆,也有助于学生掌握相应的探究方法.

充满沟通与对话的课堂往往就是依托于问题来建构的,问题串的引入將师生之间的沟通串联起来,有效的问题串设计能够为学生的发展起到最好的引导作用和启发作用.