再现定理的发现过程,设计自然的数学活动


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《新课程标准》在表述教学目标时使用了“经历(感受)、体验(体会)、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词,从而更好地体现了《标准》对学生在过程性目标的要求.章建跃老师也曾说过:没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激——反应”训练,是教育功利化在数学教学中的集中表现.充分说明在教学的过程中“过程性目标”的重要性.

什么是 “过程”?这是许多老师困惑的问题.在实际教学中,教师认为设计教学过程引导学生寻找现成的结果、现成的观点、现成的结论然后运用结论解决问题,这就是“过程性目标”,甚至认为“教学过程”即为“过程性目标”.所以,教师往往为了自己的教学更加“顺畅与完美”,在设计中往往没有考虑学生的认知规律,没有考虑知识的发生发展过程而组织教学,在这种模式下学生的自主意识、创新意识没有得到很好的发挥.

“过程”到底指的是什么?笔者认为,是指引学习者的思维过程,是在研究方向没有任何提示的情况下学生思考问题的认知建构过程,甚至有时候应像数学家一样研究数学的过程.也就是说把教学过程应设计成知识发生发展过程(自然、水到渠成)为载体的学生认知过程,以学生为主体的数学活动过程,强调学生数学思维的展开、深度参与.而不能以为更好的体现教师的“教”的目的设计教学过程,更不能以解题、应用为重点.特别是在“几何定理”的教学中,重点不是定理的使用与解题,也不是为体现“教学的流畅”的教师的设计,而是以学生为主体的定理的发现过程.不但要关注学生分析问题,解决问题的能力,同时也要关注和培养学生发现问题,提出问题的能力.下面我们以两个案例来说明.

案例1:《切线长定理》.

一、课例分析

在探究定理的教学中,教师设置如下数学活动:

活动1:分别画出已知圆的一条切线;两条相交的切线,

活动2:教师讲解切线长概念,并强调辨析切线与切线长的区别,

图1活动3:如图1,利用图形的轴对称性,说明图中PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?

活动4:得出猜想,验证,形成定理并命名为切线长定理.

分析:在这样的教学设计中,学生自始至终都是由教师牵着走,学生心里自然会产生以下几个疑问:学习了切线之后为什么要画两条切线,有什么目的?为什么要给“这条线段长”下定义,有什么用处?为什么要比较“PA与PB,∠APO与∠BPO”的关系?在这样的疑问中,如何发挥学生的主体作用?以上设计的数学活动中,虽说学生也经历了“观察——猜想——验证——形成定理”的过程,但是,这一过程完全是在教师的“预设”中,教师预先布置好路线,确定好目标,学生要做的只是“按图索骥”,并非由学生主动发现知识的过程,所以我要说,这样的过程不是以学生的“学”为主的过程,而是教师为自己的“教”设定的过程.更不是以知识的发生发展为线索展开数学活动.

二、还原定理的发现过程,以学生为主体设计数学活动

古希腊数学研究几何学的线索主要有两条,一条是研究图形本身的性质,另一种思路即是构图,通过构图研究图形之间的关系及性质.我试着揣摩当时发现这个定理的数学家的情境,当他通过画圆的一条切线研究了切线的性质及判定,很容易利用构图思想,构造出圆的两条相交的切线有哪些特殊的性质,当这位数学家通过观察、猜想、验证得出线段PA=PB,便试着用文字语言来描述这个定理,当他发现用文字语言描述PA,PB比较麻烦时,并给这条线段长下了个定义叫“切线长”,顺势将这个定理命名为“切线长定理”.所以,在教学的过程中,我们的活动的设计应回归到数学研究的本质,教学的过程设计也不能从怎么样教方便入手,而应从这个定理是怎么研究出来的设计教学,这样才能真正的体现数学中“过程与方法”目标.基于以上的思考,可以将探究“切线长定理”的数学活动做如下设计:

活动1:前面我们学习了切线的性质以及切线的判定方法,几何的研究过程实质是一个构图的过程,我们能构造出圆的两条相交的切线么?

图2活动2:在你构造的图形中(如图2),你有什么发现?请写出你的猜想,并加以验证.

活动3:用文字语言表达你的发现.

活动4:当学生难以或用比较繁的语言表述线段PA时,教师介绍切线长定义,并辨析“切线长”与“切线”,顺势将此定理命名为“切线长定理”.

三、效果分析

这样的设计立足于学生的学,以学生的主体活动为中心来展开教学,自然流畅,教师通过构图思想引导学生发现问题,并学会自己或通过合作交流解决问题.定理的教学过程不仅要让学生经过“观察、实验—猜想—验证”的过程,更重要的是,学生应自主的发现问题并学会研究,教师不能代替学生找问题,整个教学的流程应让学生体验像数学家一样去研究数学.

案例2:《圆周角定理》.

一、课例分析

在《圆周角定理》的教学过程中,教师一般如下设计:

活动一:请同学们在下图中的每一个圆中画出一个圆周角,并注意观察圆心与圆周角的位置关系.

活动二:画出同弧所对的圆心角,用量角器度量同弧所对的圆周角与圆心角的度数,并探究它们的关系,你能发现什么吗?你们的猜想正确吗?能证明吗?

分析:同教材设计一样,活动一的主要意图是通过学生作图归纳出如图3所示圆周角与圆心的三种位置关系,以便于在后面的教学过程中利用完全归纳法证明圆周角定理;在活动二中,教师预先明确了探究的方向,直入主题,用量角器度量同弧所对的圆周角与圆心角的度数.试想,学生学习了圆周角定义之后,对于探究圆心与圆周角的位置关系有多大的兴趣?明确了方向的探究的价值有多大?当然,在圆周角定理的教学过程中,学生同样经历了“测量—猜想—论证”的过程,但是,在这样事先布置好的过程总感觉是以教师的“教”为主,是为教师教的顺利而设计教学过程,而并没有充分考虑以学生的“学”为主设计教学过程.试想,当学生独自面对一个新的从未有人涉足过的领域里,有谁能帮他设计好探究的方向?又有谁能够帮他设计好证明一个论题的思路.这也从侧面反映了我们的学生解题能力很优秀,但探究能力很一般,这也正是导致学生探究能力沙化的一个重要的原因.

图3二、还原定理的发现过程,以学生为主体设计数学活动

我试着还原圆周角定理的发现过程,也许发现圆周角定理的数学家是在无聊的时候多画了一个或两个圆周角,如图4所示.突然的发现了画出的圆周角大小相等,数学家试着直接证明这个命题,但是他做不到,在证明的过程中,他发现了同一条弧所对的圆周角有无数个,但是圆心角只有一个,同时他又发现了虽然同弧所对的圆周角有无数个,但是与圆心的位置关系只有三种,所以他试着从发现并论证同弧所对的圆心角与圆周角的关系,发现了同弧所对的圆心角是圆周角的两倍后,同弧所的圆周角相等这一命题并迎刃而解,在论证的过程中,使用了完全归纳法证明了此定理.基于以上的定理的发现过程,基于以学生的“学”为主的教学设计,可以将定理的教学过程做如下调整:

图4 图5活动一:试着在图5圆中画出弧AB所对的圆周角,可以多画几个,你有什么发现?

活动二:试着用文字语言表达你的猜想?思考能否验证你的猜想?

活动三:如果不能完成“活动二”中论证,可以做如下思考,如图5所示,弧AB所对的圆周角有无数个,但是它所对的圆心角只有一个,那么弧AB所对的圆周角与圆心角有没有什么特殊的关系呢?请提出猜想并加以验证.

活动四:在教师的指导下,利用归纳法验证猜想并归纳出圆周角定理.

三、效果分析

与第一次设计相比,第二次的区别在于教师不直接为后面的教学服务而先探究圆周角与圆心的三种位置关系,而是直接让学生发现圆周角的关系,并在证明的过程中提示学生考虑圆周角与圆心角的关系来证明,在证明的过程中也未必一定要按先特殊后一般的顺序,可以让学生观察提出论证方法,这样的设计也许教的不够“流畅”,特别是在证明定理的过程中会碰到学生无法分类证明的现象,但是,它是一个“自然、自主”的过程,对于每一个学生,在学习定理的过程中应当获得的不仅仅是对定理的认证,更重要的是学会发现问题,提出问题的能力,这样的教学设计体现了落实“过程性目标”不是为教师的教服务,而是以学生的学服务.比较这两种活动的设计它们有如下不同点:

总之,“过程性目标”的落实应立足于学生的发现,以学生的主体活动为中心来展开教学过程.学生在积极主动的参与教学活动过程 中以自己的经验和知识为基础,经过积极的探索和发现、亲身的体验与实践,以自己的方式将知识纳入到自己的认知结构中,并尝试用学过的知识解决新问题.教师在这个过程中只是一个组织者、指导者和参与者.特别是在定理的教学过程中,其探究价值远胜于应用定理解题价值,探究的过程中重要的是学会找到探究的方向,提出值得探究的问题,学会数学家一样研究数学的方法,而这种机会往往稍纵即逝.“过程性目标”的核心是要把研究问题的过程与方法向学生充分、有序地展示,使学生在获得知识的同时,获得方法的熏陶与技能的提高,这才是“过程与方法”目标教学的“道”与“法”.