高中数学概率问题实验教学

【摘要】针对高中数学中的古典概率问题,设计了实验教学方法.每个实验案例都是从一个实际问题出发,来讨论分析如何解决这个问题.一共设计了3个教学案例,每个教学案例基本上包括了“问题提出——建立数学模型——分析研讨——计算机处理——思考”的过程.

【关键词】实验教学;案例教学;古典概率

1.引言

传统的数学教育主要注重理论知识教育,主要讲解数学的概念、定理、公式和法则,学生的学习过程只是被动地学习数学而很少主动地应用数学,学生主体作用得不到发挥.因此需要变革传统的数学教学和学习方式,数学教学需要联系实际应用,要与计算机结合起来,学生不仅仅靠听课和看书接受数学知识,而且要亲自动手去“学数学”和“用数学”,数学实验课就是让学生自己动手,借助计算机,自主探索,综合运用所学的知识解决实际问题.中科院院士、北京大学姜伯驹教授对建立数学实验课十分重视,他认为“应该试验组织数学实验课程,在教师的指导下,探索某些理论或应用的课题.学生的新鲜想法借助数学软件可以迅速实现,在失败与成功中得到真知.这种方式变被动地灌输为主动地参与,有利于培养学生的独立工作能力和创新精神”.

数学实验课按照数学教学大纲所确定的教学目的,强调学生的动手能力,通过数学实验加深对数学思想的了解,巩固数学基础知识,加深对基本理论、基本方法的理解;掌握简单的数据处理方法,学会使用数学软件解决数学问题;提高应用数学知识分析问题、解决问题的能力,掌握基本的数学建模方法和技巧,为将来的进一步学习与工作打下一定的数学基础.同时在教师指导下用学到的数学知识和计算机技术分析、解决一些经过简化的实际问题,培养学生的数学兴趣,从而进一步提高学生“用计算机做数学”的能力.

2.教学案例

案例一:优质车辆的选择

问题的提出:两人去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序.两人采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车.而乙则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是观察车的舒适状况,如果第二辆车的舒适程度比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试着解决下面的问题:

(1)三辆车按出现的先后顺序有哪几种不同的可能?

(2)你认为甲、乙采用的方案,哪一种方案使自己乘上等车的可能性大?为什么?

问题应用背景:通过研究样本空间与随机事件,利用古典概率公式计算随机事件的概率,利用数学解决实际问题.

涉及知识点:样本空间、随机事件.

解题思路:本题是求乘上等车的可能性,学生需要通过分析找到本问题样本空间,也就是三种等级的车辆的所有顺序,然后研究甲与乙乘上等车这两个随机事件所包含的样本点的个数,利用古典概率公式来计算各自的概率.

解答过程:

第1步,直观分析问题,得到样本空间.

通过观察,我们发现三辆车出现的先后顺序的所有可能为:{上中下上下中中上下中下上下中上下上中},一共有P33=6种可能,包含有6个基本事件,每一个基本事件均是样本空间的一个样本点.

第2步,分析随机事件“甲上上等车”.

甲无论如何总是上开来的第一辆车,依据样本空间得到:“甲上上等车”={上中下上下中},“甲上上等车”是一个随机事件,随机事件是样本空间的一个子集,这个随机事件包含两个基本事件,即是包含两个样本点.

第3步,分析随机事件“乙上上等车”.

乙则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是观察车的舒适状况,如果第二辆车的舒适程度比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车,根据乙上车的方式及本问题的样本空间得到:“乙上上等车”={中上下中下上下上中},“乙上上等车”这个随机事件包含有三个基本事件,即包含三个样本点.

第4步,根据古典概率计算公式,分别计算两个随机事件的概率.

P{甲上上等车}=26=13,

P{乙上上等车}=36=12.

问题延伸:李红和张明正在玩掷骰子游戏,两人各掷一枚骰子.(1)当两枚骰子点数之积为奇数时,李红得3分,否则,张明得1分,这个游戏公平吗?为什么?(2)当两枚骰子的点数之和大于7时,李红得1分,否则张明得1分,这个游戏公平吗?为什么?如果不公平,请你提出一个对双方公平的意见.

案例二:赌徒下赌注问题

问题提出:赌徒德梅莱在赌博中注意到一对骰子掷多次,有时把赌注押在“至少出现1次双6”比赌注押在“没出现双6”有利,有时则相反,他找不到原因,后来他请教了轮盘赌的发明人法国科学家莱兹·帕斯卡才弄清楚原因.当投掷骰子的次数为n时,请你代替帕斯卡为德梅莱设计一个有利的投注策略.

问题应用背景:计算随机事件序列发生的概率.

涉及知识点:古典概型,对立事件的概率,独立性及乘法公式.

解题思路:首先计算投掷一次,“没有出现双6”的概率.然后利用独立性及乘法公式计算n次投掷中,“没有出现双6”的概率,并用对立事件的概率计算得出“至少出现1次双6”的概率.其次要考虑随投掷n次的变化,两个概率的大小比较,进而为赌徒设计出更为有利的投注策略,完成解题.

解答过程:

第1步,先计算投掷1次,“没有出现双6”的概率.

一对均匀的骰子投掷一次,“出现双6”的概率是136,由对立事件概率公式,“没出现双6”的概率是3536.

第2步,再计算投掷n次,“没有出现双6”的概率及“至少出现1次双6”的概率.

一对均匀的骰子投掷n次,由独立性及乘法公式得“没出现双6”的概率是3536n,则由对立事件的概率公式“至少出现1次双6”的概率为1-3536n.

第3步,考虑n次投掷中,两个事件发生概率的比较.

显然当n=1时,“没出现双6”的概率3536大于“至少出现1次双6”的概率136,此时押注“没出现双6”对赌徒更为有利.

但是注意到3536<1,所以当n增大时,3536n将变小,并最终趋于零.因此必然存在某个n,为两个概率大小关系的临界值,即在该值前后,概率的大小关系出现逆转.令

1-3536n=3536n,

0.5=0.972n,

解得

n=log0.9720.5≈24.4.

也就是概率大小关系的临界值为25.

第4步,根据概率随投掷次数n的变化关系,设计投注策略.

由上面的分析,显然当投掷次数n小于25次时,“没出现双6”的概率大于“至少出现1次双6”的概率,此时押注“没出现双6”对赌徒更为有利.而当投掷次数等于或大于25次时,情况恰好相反.

为德梅莱设计一个的投注策略可以表示如下:

投掷次数

押注策略

取胜概率

n<25

没出现双6

3536n>0.5

n≥25

至少出现1次双6

1-3536n>0.5

问题延伸:小概率事件在无限次重复试验中必然出现的原理.

在上述问题中我们看到虽然投掷一对骰子“出现双6”的概率很小为136≈0.028,但是当投掷次数n无限增大时,“没出现双6”的概率3536n将趋于零,其对立事件“至少出现1次双6”的概率将趋于1,即

limn→∞1-3536n=1.

这说明小概率事件当重复试验次数无限增大时几乎是必然要出现的.

案例三:赌徒与赌场

问题提出:18世纪法国科学家莱兹·帕斯卡发明了轮盘赌,他设计的这个装置让许多人发财致富,同时又让更多人倾家荡产.蒙特卡罗轮盘赌机上有37个小槽,编号从0到36,转盘每转一次停下后,盘上的小金属球就会落进其中某个小槽.赌客的赌注可以压在单数或双数上,0号槽被看作既非单数又非双数.美国赌场的轮盘赌稍有不同,轮盘赌机上既有0号槽又有00号槽.请分析两地的轮盘赌机,赌场的收益率和赌徒押中赌注的概率分别是多少?帕斯卡设计的轮盘赌机是公平的赌博吗?

问题应用背景:计算随机事件序列发生的概率.

涉及知识点:古典概型,对立事件的概率,独立性及乘法公式.

解题思路:赌场的收益率是在等可能的情况下计算数字0或数字0和00出现的概率,赌徒押中赌注的概率是单数或双数(除0或00外)在37(或38)个数字中出现的概率.

解答过程:

第1步,先计算赌场的收益率.

蒙特卡罗赌场的轮盘赌中,当小球落入0号槽时,既非单数又非偶数,赌场可以通吃全部赌注,因此赌场获得收益的概率就是数字0出现的概率,考虑所有数字出现是等概率的,则赌场的收益率为137,约为2.7%.美国赌场的轮盘赌中,除0号槽外还有00号槽,赌场可以通吃全部赌注,因此赌场获得收益的概率就是数字0或00出现的概率,考虑所有数字出现是等概率的,则赌场的收益率为238,约为5.26%.

第2步,计算赌徒押中赌注的概率.

在蒙特卡罗赌场的轮盘赌中,单数和双数出现的概率均为1837,因此赌徒押中赌注的概率为1837,约为48.6%.在美国赌场的轮盘赌中,单数和双数出现的概率均为1838,因此赌徒押中赌注的概率为1838,约为47.4%.

第3步,分析轮盘赌机是否是公平的.

在轮盘赌中押单数或双数,看似机会相等,实际却是一场不公平的赌博.虽然平均来看一半的赌注会押在单数上,另一半的赌注会押在双数上,而赌场会把从这一半赚到的钱赔到那一半上去,然而数字0或00的设置才是确保赌场在轮盘赌中稳赚不赔的秘诀.从上面的概率计算中我们已经看出赌场的收益率无论是蒙特卡罗的2.7%,还是美国的5.26%都是很可观的.而对于赌徒,无论他押注什么,获胜的机会都不会超过一半.从我们的分析中,赌徒能得到的启发或许只是如何在两个坏的轮盘赌中选择一个不是最坏的.

3.结语

课题组通过调研和阅读大量文献,提出了案例教学法.我们始终坚持以学生为本的“学生是学习主体”“教师是教学关键”教学理念.在教学方法上狠下工夫,不断探索教学方法.项目组老师提倡除采用传统的启发式教学外,还结合学生实际和学校专业特点,注重新的教学方法的引进与吸收,尤其应结合数学建模,采用启发式、案例式、讨论式等教学方法,启发学生课内课外的学习积极性、主动性,充分发挥学生的思维能力和想象能力,使他们在课堂上得到最大的收益.

课题组针对高中数学中的概念部分内容,设计实验课教学的基本框架:即教学实验都是从一个实际问题出发,来讨论分析如何解决这个问题.一共设计了3个教学案例,每个教学案例基本上包括了“问题提出——建立数学模型——分析研讨——计算机处理——思考”的过程.由于这一模式由实际问题导出相应的方法和理论,有的放矢,针对性强,符合人们的认识过程;另一方面具有相对的独立性和完整性,便于灵活安排;同时这种模式也强调了实验与教学相结合,达到以实验辅助教学的目的.项目组在设计案例时,结合了学生专业的特点,注重调动学生的学习兴趣和创新意识,在课程教学中为学生留有充分的自由,留有发挥的余地和空间.我们在数学实验的案例、任务和完成方式等各个方面都有意识地体现出多样性和灵活性,让学生可以自主选择.课题组编写的案例教学实验素材,选取范围涉及领域广泛,内容力求典型生动;通过实验介绍相应的数学知识、数学模型和数值方法.我们始终坚持以学生为本的“学生是学习主体”“教师是教学关键”教学理念.希望通过小论文等形式培养学生的兴趣,培养学生的创新能力.