突出三大主体栏目,彰显教材编写特色

新修订的青岛版《义务教育教科书·数学》九(上),于2014年9月和大家见面了.新版教科书除在知识内容上有较大的变化外,编写特色更加鲜明.其一,本册教科书的编排结构自然、和谐、合理,体现了螺旋式上升递进的编写原则.栏目设置更加新颖灵活,图文并茂,生动活泼有趣,具有启迪性、探究性,不仅加强了让学生动手操作和探究归纳能力的培养,而且更加体现了知识的形成过程,与其它版本的教科书相比,更具人性化.其二,根据教学需要,本册教科书设置了大量的“观察与思考”、“交流与发现”、“实验与探究”等进行数学活动的三大主体栏目.通过真实的情境,鲜活的事例或数学自身的素材,帮助学生轻松步入学习佳境,在观察、实验、思考、猜想、验证、推理与交流等数学活动中,让学生亲历数学知识的发现与探究过程,使学生真正成为学习的主人.正如教育部教材审查委员会给出的评价:教科书设计了“观察与思考”、“实验与探究”、“交流与发现”等特色栏目,能积极鼓励学生自主探索发现,感受数学源于生活、应用于生活,更加注重了能力培养.

下面通过几则案例来说明如何利用新教材特色栏目实施数学有效教学的.

1 观察与思考

观察与思考栏目是通过真实的情境和鲜活的实例,或提出富有启发和思考性的问题,帮助学生进入自主学习、观察猜想、实验验证等的学习情境,切实能引导学生深入进去解决问题.对于运算定律、公式、法则等知识的学习,是从学生已有的认知发展水平和已有的经验出发,遵循“由特殊到一般”的规律,结合具体的学习内容,用观察与思考栏目提出一些问题,引导学生围绕问题进行观察、分析、综合、推理、判断等思维活动,在活动的过程中经历获得知识的过程,从而得到有关的结论.

案例1 “2.4直角三角形的解法”观察与思考过程(九(上)教科书第49页):

教科书内容如下:

(1)在Rt△ABC中(图28),∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.除直角C已知外,你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗?与同学交流.

①角之间的关系:∠A+∠B=90°;

②边之间的关系:a2+b2=c2;

③角与边之间的关系:sinA=ac,cosA=bc,tanA=ab.

(2)观察上面的三组等式,你发现在直角三角形中,除直角以外,至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素?

教科书卡通形象小博士温馨点拨:

除直角以外,如果再知道直角三角形的两个元素(至少一个是边),就可以求其他的元素了.

笔者利用教科书本节内容是这样引导学生观察与思考的:

师:根据图28,观察上面的三组等式,你发现了什么?

师:在直角三角形的六个元素中,除直角外,还有几个元素?

生:五个元素.

师:在直角三角形中,除直角外,还需知道几个元素就可以求出其他的未知元素?

生:除直角外,如果再知道直角三角形的两个元素,就可以求其他的元素了.

师:在教科书所列出的②、③两组等式中,每个等式中都含有三个量,如果已知其中的两个量,如何求出第三个量?

生:运用勾股定理和锐角三角比可以求出第三个量.

师:如果已知的其中的两个量都是角,能否求出其他的未知的量?

生:不能.因为等式②中,三个量都是边,等式③中的三个量有一个是角,另外两个量都是边,因而在已知的两个元素中,至少须有一个量是边才能求出其他的未知的量.

师:好!在直角三角形中,除直角外,如果再知道直角三角形的两个元素(至少一个是边)就可以求出其他的元素了.

从上述学生的思考与交流可以看出,学生通过阅读教科书给出的观察与思考栏目,在观察图形、回忆已学过的知识的基础上,对直角三角形中角与角之间(两锐角互余)、边与边之间(勾股定理)、角与边之间(锐角三角比)的关系进行了梳理和总结,较好地理解了在直角三角形中,除直角外,知道其中的两个元素(至少一个是边),就可以求出其他三个未知元素.

2 交流与发现

交流与发现栏目是在关注情境的设置、问题的提出以及讨论交流的前提、方式、时间处理等因素下,让学生明确做什么,思考什么,在此基础上再引导学生进行交流的.在给出一些基本的数学概念之前往往会结合具体的学习内容,用交流与发现栏目,提出一系列的问题,用这些问题引导学生去主动地、富有个性地学习,不断地提高学生发现问题和提出问题的能力.对于有些定理、性质的学习,本教科书也是采用交流与发现栏目,提出一系列的问题,引导学生通过解答这些问题,发现定理和性质的.

案例2 “1.1相似形”概念的发现与建立过程(九(上)教科书第4页):

教科书内容如下:

交流与发现

图11五星红旗是中华人民共和国的国旗,国旗上的左上角有五颗五角星(图11),这五颗五角星的形状相同吗?

在现实生活中,你还见过形状相同但大小未必相等的图形吗?

形状相同的平面图形叫做相似形(similar figures).

全等形与相似形有什么关系呢?

教科书卡通形象小亮温馨提示:

两个全等形也是相似形.

教科书卡通形象小莹温馨提示:

两个相似形未必是全等形.

在学习相似形的概念时,根据教科书给出的内容我是这样让学生发现与交流相似形概念的:

师:在图11中的国旗上,五颗五角星的形状相同吗?

生:相同.

师:它们的大小相等吗?

生:不相等.

师:在现实生活中,你还见过形状相同但大小未必相等的平面图形吗?

生1:两个含有30°角的三角板;

生2:型号相同的两只钢笔;

生3:我们教室的课桌凳及门窗口;

生4:两张同一底版的大小不同的照片;

生5:大小不一的同一个商标图案;

……

师:上述平面图形中,它们的共同特征是什么?

生:这些平面图形的形状分别相同.

师:我们把形状相同的平面图形叫做相似形.

师:相似形与全等形有什么联系呢?

生:相似形的形状完全相同,但图形的大小不一定相同;全等形一定是相似形,但相似形不一定是全等形.

师:相似形与全等形有什么区别呢?

生:全等形的形状相同、大小相等,两个图形能够完全重合;而相似形的形状相同、大小不一定相等.

师:全等形一定是相似形,它是相似形的特殊情况.相似形的概念是全等形概念的拓展,两个图形相似,其中一个图形可以看做是由另一个图形放大或缩小得到的,也就是说,相似形的形状完全相同,但图形的大小不一定相等.

从相似形概念的发现与建立过程可知,本节教科书要求教师应先引导学生观察图1—1,思考教科书提出的问题,再展示一些“形状相同、大小不一定相等”的图片、图案或商标等,并让学生说出现实生活中,见到的形状相同但大小未必相等的图形.通过让学生进行观察、发现、交流等活动,从而概括出相似形的特点,即形状相同、大小不一定相等.

3 实验与探究

有些数学知识,可通过数学实验直接获得.对于这样的知识,教科书将其设计成能引导学生动手操作的问题,用实验与探究栏目提出,使学生经历操作、观察、分析、讨论、交流、归纳、猜想等活动,在经历这些活动的过程中,发现有关的结论.实验与探究栏目明确了实验的步骤及探究的方式,是通过实验与探究来改变学生的学习方式,提高学生的探究能力和创新能力的,从而实现学生的情感目标和能力目标.

案例3 “3.4直线与圆的位置关系”探究过程(九(上)教科书第91页):

教科书内容如下:

实验与探究

(1)我们过去曾学习过点与圆的位置关系.回忆一下,在平面内一点P与⊙O的位置关系有几种?如果已知⊙O的半径为r,通过怎样的数量关系可以确定点P与⊙O的位置关系?

(2)在纸上画直线l与m,使m⊥l,垂足为点P.取一张圆形的透明纸片,记圆心为O.将⊙O放在纸上,使点O落在直线m上,沿m平移⊙O(图336).在平移过程中,观察直线l与⊙O的公共点的个数,你有什么发现?

图336教科书卡通形象小亮温馨提示:

我发现,直线l与圆的公共点的个数与⊙O与直线l的位置有关,可以有两个,可以只有一个,也可以没有公共点.

当直线l与⊙O有两个公共点时(图336①),叫做直线l与⊙O相交.直线l叫做⊙O的割线(secant line),两个公共点叫做交点.

当直线l与⊙O有唯一公共点时(图336②),叫做直线l与⊙O相切.直线l叫做⊙O的切线(tangent line), 唯一的公共点叫做切点(point of tangency).

当直线l与⊙O没有公共点时(图336③),叫做直线l与⊙O相离.

(3)如图336,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离OP为d,在平移⊙O的过程中,当直线l与⊙O相交时,d与r有怎样的大小关系?当直线l与⊙O相切或相离时呢?反过来,你能根据r与d有的大小关系,判定⊙O与l的位置关系吗?

当直线l与⊙O相交时,d

当直线l与⊙O相切时, ;反之,当d=r时,直线l与⊙O .

当直线l与⊙O相离时, ;反之,当d>r时,直线l与⊙O .

在直线与圆的位置关系的探究过程中,笔者结合教科书给出的内容设计了如下两个探究活动:

探究活动一 探究直线与圆的位置关系

第一步,实验探索

学生同桌两人一组,利用准备好的白纸和圆形的透明纸片,按教科书中实验与探究(2)进行操作.

第二步,观察思考

教师利用课件演示,并引导学生观察上图3—36中直线与圆的各种相对位置关系,思考直线l与⊙O的公共点的个数,你发现了什么?

第三步,探索发现

根据初三学生的认知水平,学生不难发现直线l与圆的公共点的个数与⊙O与直线l的位置有关,可以有两个,可以只有一个,也可以没有公共点.从而得到直线与圆的三种位置关系,即直线与圆相交、相切、相离.

根据探索和理解,让学生尝试用数学语言表述出直线与圆的三种位置关系,并说给同桌听.

这一探究活动,是通过让学生自己动手、动脑、动口,在操作中体验、感知数学知识,并与教师演示的课件进行比对,再让学生尝试着用自己的语言叙述出来,经历了数学结论形成的过程,以此增强了学生的观察、探究、概括和归纳能力.

探究活动二 探究通过怎样的数量关系可以确定直线与圆的位置关系

(设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离OP为d)

第一步,课件演示

先从较为特殊的直线与圆相切时的情况入手,让学生在观察、思考、猜想的基础上再讨论、探索、归纳d与r有怎样的大小关系?

第二步,小组活动

学生前后四人一组,利用课前准备好的圆形透明纸片,结合教科书图3—36,观察在平移⊙O的过程中,当直线l与⊙O相交时,d与r有怎样的大小关系?当直线l与⊙O相切或相离时,d与r有怎样的大小关系?反过来,你还能根据r与d的大小关系,判定⊙O与直线l的位置关系吗?

第三步,探索归纳

经过学生观察思考、小组合作探究后,归纳出直线与圆的三种位置关系中d与r之间的数量关系,并填写下表:

(1)直线l与⊙O相交d

(2)直线l与⊙O相切d=r;

(3)直线l与⊙O相离d>r.

此探究过程,遵循了从特殊到一般的探究原则,先从特殊的直线与圆相切时的情况入手,再逐步扩展到直线与圆相交、直线与圆相离时的位置关系,所得直线与圆各种位置关系中d与r之间的数量关系的结论,都经过了学生的数学探究,学生易于理解接受.同时,给学生以足够的时间自主探究这一问题,能充分让学生感知到图形的“位置关系”与“数量关系”是互相联系的.

总之,本教科书通过“观察与思考”、“交流与发现”、“实验与探究”这三大主体栏目的设置,激发了数学学习的兴趣,有助于学生之间的合作探究与交流,增强了问题的探究性,拓宽了学生的思维空间,强化了能力培养,从而提高了教学的有效性.

青岛版初中数学教科书九(上)新版各章三大主体栏目设置数量

从上表可以看出,三大主体栏目在各章的设置数量虽然不均衡,但是,它是根据教科书内容和数学探究活动的需要适时设置的,充分发挥了教材的导引功能,真正起到了数学教学应有的作用.