高中数学中观教学设计:现状、问题与对策

摘 要:作为“整体把握课程”的教学设计的统称,“中观教学设计”是指以优化教学效果为导向,在系统思维的指导下,对教材中具有明确逻辑关联的内容进行分析、提炼,重新组合为相对完整的教学单元并有序规划各种教学要素的教学设计。高中数学教学领域中观教学设计研究的现状是,理念获得认同但缺乏案例研究;存在的问题是,体现整体性的三大要素单元内容确定、单元重点活动设计、单元教学流程设计缺乏操作指导。相应的对策有:梳理数学内在的逻辑关联,确定单元内容;掌握数学研究的基本套路,提升核心素养;明确数学知识在系统中的地位,协调单元与课时的关系。

关键词:整体把握 中观设计 逻辑关联 基本套路 知识地位

《普通高中数学课程标准(2017年版)》采用了“内容主线—内容主题—核心内容”的课程结构,从总体到局部,从局部到总体,充分体现了数学本身的系统和结构。在数学教学中,改变“以知识点为中心”的内容展示,强调“整体把握课程”,引导学生构建完整的认识,形成良好的体系,是帮助学生更好地掌握数学课程、提升数学核心素养的重要突破口。

随着高中数学课程标准的修订,“整体把握课程”的理念逐渐得到数学教育研究者和高中数学教师的广泛认同。在教学实施层面,“单元教学”“主题教学” “知识团”“整体设计”等概念在中学数学教育领域不断涌现。本文将以“中观教学设计”作为介于单节课时(微观)设计与学科课程(宏观)设计之间的整体教学设计的统称,统一上述各种大同小异的概念。

所谓“中观教学设计”,是指以优化教学效果为导向,在系统思维的指导下,对教材中具有明确逻辑关联的内容进行分析、提炼,重新组合为相对完整的教学单元并有序规划各种教学要素的教学设计。中观教学设计能使教师获得操控教学时空资源的较大自由度和优化教学方法的可能性,往下可以合理地协调课时之间的教学逻辑,往上则可以较好地兼顾课程整体目标和知识结构,能够更多地关注教学内容的本质、所蕴含的思想以及学生核心素养的培养。本文将基于有关中观教学设计的文献,分析高中数学教学领域中观教学设计研究的现状和存在的问题,讨论相应的对策。

一、现状:理念获得认同但缺乏案例研究

无论“单元”“主题”还是“知识团”,数学教育研究者和一线教师对于中观教学设计在数学教学中的价值具有较高的认同度。

高中数学课程标准修订组组长史宁中认为,数学教育研究的基本研究单位是知识团,即具有明确逻辑关系的知识点的集合。在教学设计中,应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起,进行整体设计。无论把这个整体称为“单元”还是“主题”,都要把这些内容融为一体,进行教学设计,并且付诸实施。这样,才能在关注知识技能的同时,认真思考数学的本质、所体现的思想,培养学生的数学核心素养。

西北师范大学吕世虎教授、首都师范大学王尚志教授主持开展了“主题教学—深度学习理论与实践”研究。吕世虎总结出目前对“单元”的理解主要有两种:现成教材中的章节;根据教学内容在结构上的联系等重新组合的“大单元”。王尚志认为,“教师能从一节一节课中跳出来,进行主题式教学(深度学习)设计和实施”是落实数学课程标准的过程中需要重点突破的问题。

然而,具体到高中数学教学领域,中观教学设计的研究尚处于起步阶段。杨晓翔调查发现,高中数学教师对单元教学设计能够整体把握数学内容、优化教学有较高的认同,但是在实际教学中很少能对课程内容进行整体设计。

基于文献的分析,也能得到类似的结论。截止到2018年8月,笔者在中国知网(CNKI)数据库中分别以“单元教学”“主题教学”“单元设计”“整体设计”并含“数学”为篇名进行搜索,再逐篇筛选出关于高中数学中观教学设计的论文,共计27篇。虽然“单元教学”的提法在20世纪90年代就已经广泛流传开来,但是在高中数学教学領域以“单元”结构进行整体设计的研究还很少。笔者检索到的较早的一篇论文是2013年李柏青发表于《数学通报》的《复习课单元整体教学设计的实践与思考》,最具有代表性的论文是2016年吕世虎等发表于《数学教育学报》的《单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用》。从2016年开始,关于高中数学中观教学设计的论文小幅度地逐年增长,其中对中观教学设计的特征、价值、操作方法等方面的理论论述文章相对较多,而对具体的高中数学“单元”“主题”进行中观设计的案例分析文章相对偏少(具体数据见表1)。

总之,在高中数学教学中进行中观设计目前已经形成较为广泛的理念认同,以某些章节内容为例进行中观设计的探讨已经形成一些理论成果,但是,在实际教学中对具体课程内容进行中观设计的案例研究还比较缺乏,理念落地将是一个长期的过程。

二、问题:体现整体性的三大要素缺乏操作指导

为了叙述方便,下面将中观教学设计的内容对象统一称为教学单元或单元。

吕世虎认为,单元教学设计应该按照“确定单元内容—分析教学要素—编制教学目标—设计教学流程—实施教学—评价、反思及改进”六个步骤展开。王尚志认为,单元教学的要素,最重要的是进行整体分析,包括数学分析、标准分析、学情分析、教材对比分析、重点(本质、核心素养)分析和教学方式分析,进而确定主题教学目标,选择、设计情境和学习活动。

从现有文献的分析来看,目前高中数学中观教学设计主要研究“教的设计”,基本没有研究“学的设计”“评价设计”。在“教的设计”方面,单元内容确定、单元重点活动设计、单元教学流程设计,是体现中观教学设计“整体把握课程”这一特征的最重要的三个要素。本文只就这三个要素讨论目前中观教学设计研究存在的问题。

首先,单元的划分没有现成的模式,对单元内容的解析缺乏指导性策略。吕世虎认为,可以知识内容为线索组织主题类单元,以思想方法为线索组织方法类单元,以素养为主线组织素养类单元。而现有文献中,基于数学思想方法、数学核心素养的中观教学设计缺少理论与实践的研究,可操作的教学案例更为匮乏。单元内容的确定(包括主题划分和内容解析),需要教师挖掘相关知识点的内在联系并整体架构知识体系,考验教师“理解数学”的水平。以教材中现成的章节作为主题类单元进行中观教学设计,操作起来较为方便,对教师处理教材内容的能力要求较低,是目前中观教学设计的主要形式;数学思想方法的教学需要涉及散落于高中数学不同核心内容中的知识点,所以适用于高三复习教学;数学核心素养的培养应该在数学核心内容的教学(包括新授课和复习课)中“润物细无声”地渗透,不可能一蹴而就,因而不适合通过单元教学的方式进行集中教学。

其次,单元重点(本质、核心素养)的分析没有现成的模式,通过中观教学设计提升学生的数学核心素养缺乏指导性策略。章建跃认为培育学生的数学核心素养,需要通过抽象化、一般化获得数学的研究对象,通过类比、联想、特殊化、一般化等思维活动,发现和提出数学问题、形成研究思路、找到研究方法,注重数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性。这段论述为通过中观教学设计提升学生的数学核心素养指明了方向,而具体的操作途径仍需根据具体的单元进一步细化明确。

最后,单元教学流程的设计没有现成的模式,协调单元教学与课时教学之间的关系缺乏指导性策略。中观教学设计并不是不要课时教学设计,单元教学目标的落实最终需要通过课时教学来实现。如何实现单元教学与课时教学的功能互补、优势互补,避免单元与课时“两张皮”的现象,是当前中观教学设计亟须解决的理论和实践难题。

三、对策:立足于“理解数学”

针对中观教学设计中存在的问题,笔者结合教学实践和文献研究,从“理解数学”的视角提出相应的对策。

(一)梳理数学内在的逻辑关联,确定单元内容

一方面,教材中的章节往往是一个以核心概念为生长点的知识团,围绕核心概念生成的核心知识(包括概念、原理、法则、应用等)构成以核心概念为主线的单元(章节型单元),比如“函数”单元。对于这类单元,内容确定较为容易,但是内容解析并不轻松。核心概念产生的必要性,核心知识之间的上下位关系或并列关系,是单元内容解析的重点。除了核心概念这条明线外,很多以教材章节形式确定的单元中常常贯穿着一条逻辑主线(暗线),这条逻辑主线往往没有以文字形式明确地写在教材上,而是隐藏在基础知识的背后,需要经过分析、提炼才能显露出来。寻求单元的逻辑暗线,是中观教学设计中对单元进行内容解析的重要环节:找到体现单元内容内在逻辑关联的这条主线,就能勾勒出学习该单元的“思维导图”。

比如,数列单元中,“运算”就是研究数列性质的逻辑主线。从概念的名称便可知,研究数列的基本手段是运算:施行减(除)法运算而发现差(比)相等,于是有“等差(比)数列”。而它们的通项公式、基本性质、前n项和公式等,都是在运算中出现的规律性、不变性。

研究了等差数列之后,可以从运算的角度类比研究等比数列:若{bn}为等差数列,则{abn}(常数a>0)为等比数列;若{bn}为正项等比数列,则{logabn}(常数a>0且a≠1)为等差数列。

掌握了等差(比)数列的基本性质之后,可以从运算的角度展开对一般数列性质的研究,主要有三大问题:(1)数列的两种表示方式(递推公式和通项公式)之间的转化。最常见的问题是由递推公式求通项公式,方法是通过某些运算技巧转化为等差(比)数列来研究。(2)数列通项与部分和(前n项和)之间的关系。各种数列求和问题都需要运算技巧的呈现,尤其是裂项法对学生思维能力提出了极大的挑战,常常是高考压轴题中的“拦路虎”。(3)新数列的构造。对于单个数列,可以通过各种变换(取绝对值、取倒数、取子列等)构造出新数列;对于两个数列,可以通过四则运算构造出新的组合数列。

通过运算,可以将一般数列问题转化为等差(比)数列来研究;通过运算和变换,可以由等差(比)数列生成各种复杂的数列。数列单元的知识网络图就由“运算”这条逻辑暗线架构起来了。

另一方面,根据数学知识、方法内在逻辑上的关联,对散落于教材多个章节中的教学内容重新组合,也可以形成较为完整的教学单元(整合型单元)。这类教学单元内容的确定,往往对教师“理解数学”的水平提出了更高的要求。整合教学内容形成单元的逻辑依据,可以是核心概念,可以是重要思想方法,也可以是重要數学知识(原理、公式等)。基于整合型单元,可以在高三复习课中通过概念比较、多题一解、一题多解等具体的教学活动,帮助学生提升对相关问题的数学本质的认识。下面对每一种逻辑关联下的整合型单元分别举例说明。

所谓“有向度量”,是指带有方向的度量,研究既有二值(正、负)有向性、又有可加性的几何量,包括一维空间的有向距离、二维空间的有向面积和三维空间的有向体积。“有向度量”的概念散落于高中数学教材中的三角、向量、解析几何、立体几何等主干内容中。沪教版教材呈现这些“有向度量”的形式是多样的:直接给出“有向线段”的概念,以公式形式呈现点到直线的“有向距离”、三角形的“有向面积”,以不言自明的内蕴形式呈现“有向角”等。

为了建立相等关系,需要把同一个量以两种不同的方法表示出来,这就是“算两次”原理(又称富比尼原理)。“算两次”的方法虽然没有被专门提出,但是在高中数学教材中多次出现用算两次的方法解决问题,比如推导正(余)弦定理、推导两角和的余弦公式、用等积法求点到平面的距离、证明很多组合恒等式等。

柯西不等式不仅结构整齐,是证明不等式和求函数最值的有力工具,而且形式多变,其代数、几何、向量、概率等各种表现形式体现了数学各个分支之间的紧密联系和内在沟通。代数型、向量型、概率型柯西不等式的证明方法均是构造二次函数、配方并利用判别式,可见这种方法乃是柯西不等式的本质证明方法,其他所谓证明只不过是几种表现形式之间的相互诠释。证明方法的相同和所处理问题的相似,暗示了这四种表现形式之间的内在统一性。

(二)掌握数学研究的基本套路,提升核心素养

根据数学内在的逻辑关联确定单元内容后,应该在中观层面上引导学生掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”,包括明确研究的问题,获得研究的对象,确定研究的内容,选取研究的方法,建构研究的过程,获得研究的结论等。

比如,通过研究教材不难发现,高中阶段“集合”单元研究的基本套路是:(1)界定研究对象,给出定义(“集合”的语言描述性定义);(2)对象的表示(列举法、描述法表示集合,特殊数集的专门表示);(3)对象的分类(按元素个数将集合分为有限集和无限集);(4)基本性质(对集合内部而言,元素具有确定性、互异性、无序性三大特征);(5)关系和运算(对集合之间而言,研究两元偏序关系“”,交、并、补运算以及相应的运算律);(6)应用(利用子集判断逻辑关系)。“集合”研究的基本套路对其他单元的教学具有指导意义;这种研究数学问题的思路具有普适性,使得“集合”作为高中开篇单元具有了方法论的价值。

如果说数学研究的基本套路体现了单元的重点,那么,设计适当的单元重点活动则是中观教学设计的关键,也是培育学生数学核心素养的紧要之处。而设计单元重点活动,需要通过设置适当的问题串,以概念的发生发展、性质(公式、定理等)的“再发现”为载体,引导学生经历完整的数学思考过程。

以“解斜三角形”单元的中观教学设计为例,正弦定理的“发现”与证明可作为重点活动。学生在初中已经学习了三角形中的“大边对大角”、直角三角形中的边角关系、三角形全等的判定定理。因此,对正弦定理的“发现”与证明活动,教师可设计如下的问题串:(1)三角形中存在不等关系“大边对大角”,那么三角形中边与角之间是否存在等量关系?(2)(联系三角形全等的判定定理“AAS”来思考)已知△ABC中的边a和角A、B,能否确定边b、c?(3)定量计算直角三角形的边角关系,能否猜想一般三角形中边a、b、c与角A、B、C之间的定量关系?(4)如何证明你的猜想?这个问题串实际上将初、高中学习的三角形边角关系融为一个整体。在初中已有知识的基础上,学生经历了不等关系(“大边对大角”)→等量关系,定性关系(全等判定定理“AAS”)→定量关系,特殊(直角三角形)→一般(三角形)的数学思考过程,才最终“发现”并证明了正弦定理这个性质。

设计单元重点活动,在引导学生掌握数学研究的基本套路的同时,也能潜移默化地提升学生的数学核心素养。具体表现在:(1)在获得研究对象的过程中,需要从数学与现实的联系、数学知识发生发展的必然性两方面发现和提出问题,通过对具体事例的分析,归纳共同属性、抽象本质属性而获得数学概念。在这个过程中,可以着重提升学生的数学抽象、直观想象等素养。(2)在研究数学对象的过程中,需要从数学对象要素之间的关系、概念之间的联系等方面展开研究,发现性质、规律,获得猜想,再通过推理、运算等手段来证明结论,得出定理、公式等。在这个过程中,可以着重提升学生的逻辑推理、数学运算等素养。(3)在应用数学知识解决问题的过程中,需要利用数学概念、原理来分析实际问题,把现实问题转化为数学问题,并用数学方法解决。在这个过程中,可以着重提升学生的数据分析、数学建模等素养。

(三)明确数学知识在系统中的地位,协调单元与课时的关系

在中观教学设计中,单元设计体现了一定的整体性。而课时设计具有明显的局部性。因此,只有明确每个课时的知识内容在单元系统中的地位,协调单元与课时之间的关系,才能充分发挥中观教学设计引领学生“在结构之中感受数学的整体性”的作用,真正促进学生数学核心素养的提升。单元是大的课时,课时是小的单元,单元与课时可以看成是“线”与“点”之间的关系。协调两者之间的关系,需要从两个方面着手:

一方面,将单元教学目标有序分解、合理分配到每个课时。课时目标与课时内容紧密关联。分解、分配单元教学目标时,要对每个课时内容的深度和广度作明确的界定,使得每个课时各有侧重,突出课时内容在单元体系中的独特地位和价值,从而使单元教学目标分步骤、有层次地达成。

比如,“圆锥曲线”单元的中观教学设计中,按照沪教版教材的要求,整个单元由8个课时构成,其中利用方程研究圆锥曲线的几何性质(如表2所示)共有5个课时,每个课时的研究内容各有侧重。椭圆性质的研究开启了圆锥曲线性质研究的序幕,椭圆性质的研究内容为双曲线、抛物线性质的研究内容奠定了基调。与椭圆不同的是,双曲线有渐近线;双曲线有两支,导致焦点三角形的有关性质不同于椭圆;双曲线不是封闭曲线,导致与直线公共点个数的判断复杂于椭圆。与橢圆、双曲线不同的是,抛物线只有一个焦点,不存在焦点三角形问题,因此主要研究焦半径,进而研究焦点弦问题;抛物线的方程比较简单,因此研究光学性质不涉及复杂的计算,可以作为揭示圆锥曲线焦点概念来龙去脉的重要内容。于是,在具体课时分配中,椭圆的整体性质和局部性质为1课时,椭圆与直线的位置关系为1课时;双曲线的整体性质为1课时(重点是渐近线),双曲线的局部性质、双曲线与直线的位置关系为1课时(重点是与椭圆不同的地方);抛物线的性质是1课时(重点是焦半径和光学性质)。

另一方面,日常教学还须以课时的方式进行,处理原则可以是“整体—局部—整体”。在课时教学之前,应更多地从单元角度思考问题,从中观上解决“为什么学”“学什么”和“怎么学”的问题,因为先见“森林”,再看“树木”,有利于确定“树木”在“森林”中的位置,可以使课堂教学设计更有针对性——这是前一个“整体”的内涵。目前引起很多数学教育研究者关注的章节“序言课”研究大多是基于上述考虑的。“局部”是单元教学目标的细化实施,也就是通过每个课时具体落实“整体”设计的方案。最后应在课时教学的基础上对单元内容进行归纳、总结,在完善单元知识结构的同时,建立相关知识的逻辑联系,最终帮助学生形成良好的整体认知结构。

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