对信息技术与数学学科“整合”有效性的一些思考

一、两份有讨论价值的教学案例

本期杂志发表了两篇信息技术与数学学科整合课的课堂教学案例,教学内容是人教版七年级下册的《课题学习——镶嵌》,一篇是王春老师撰写的《LOGO技术支持下的数学实验课教学实录——有趣的镶嵌作图》,另一篇是王浪老师撰写的《现代信息技术与数学学科的整合——<图形的镶嵌>教学案例与评析》。

镶嵌作为课题学习的内容安排在三角形一章的最后,这是有别于传统教材的有意尝试。学习这一内容要利用多边形内角和公式,但和以往教学不同的是,它摆脱了过去数学那种单纯从概念、定理、公式到作题的模式,而是通过课题学习,让学生经历从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有知识解决问题的全过程,让学生变换了学习方式,尝试以一个“研究者”的身份进行学习,这就给学生以更多的自主学习、探索、思考的空间。由于镶嵌问题贴近学生的现实生活,容易激起学生探究的兴趣,另外镶嵌背后数学问题的开放性也为不同程度的学生提供了思考、探索的空间,因此单就课题学习——这样一个课改面临的新课题而言,这两篇教学案例是很有讨论价值的素材。

两篇案例都介绍了信息技术在数学教学中的使用,很能引起读者的关注。尽管注重信息技术与数学课程整合是正在推进的数学课程改革的一个重要理念,但怎样有效地把信息技术运用到数学教学中,这一问题至今还未很好地解决。对于信息技术用于数学学科教学究竟有效还是无效,目前还没有一致的见解。2007年4月7日,《参考消息》转载了一篇刊登在4月5日美国《华盛顿邮报》上的文章,标题是“美国一项规模最大的专题研究认为教学软件无助提高学生成绩”。该文章写到,“教学软件深受美国学生的青睐。不过,美国教育部公布的一份研究报告说,这种软件对学生提高成绩并没有多大作用”。而本刊刊登的这两篇教学案例对此就持相反的观点,认为信息技术对于数学教学是有效的。这至少表明,截止到目前,信息技术与学科整合的理论研究还是不成熟的,实现有效整合的许多从理论到实践的问题并没有真正解决,还需深入进行探讨。

这样看来,这两个镶嵌的教学案例就更有讨论的价值了。案例的提供者是两位一线教师,他们积极参与教育改革,勇于探索,并把自己的做法和心得作为第一手材料提供给大家,这为深入讨论以上问题提供了难得的素材。所以对这两个案例,似不该用所谓“案例点评”的方式处理,而是从这两篇案例中引起讨论:怎样处理新课程中的课题学习,怎样有效地把信息技术用在数学教学中。对于这些课程改革与教育信息化出现的新问题,可能谁都没有资格进行“权威”的点评,只能通过“实践—认识—再实践—再认识”的方式,不断积累经验、集思广益,才能逐渐获得比较清晰、正确的共识。所以,本文只是作为一家之言,与两位教师商榷,也与广大教师同行探讨。以下为叙述方便,用A表示王春老师的文章,用B表示王浪老师的文章。

二、怎样对信息技术整合课进行教学评价

评价一节课首先应该看它的教学目标正确与否、明确与否。一节45分钟的教学活动是围绕教学目标展开的,最终要实现预先制订的教学目标,这样看来教学目标就起着把握方向的关键作用,一旦方向偏差,其他一切都无从谈起了。但恰恰对于教学目标的确定,不同背景的人可能有不同的衡量标准:信息技术专家容易偏向于技术的使用以及是否体现出信息技术的教育理念;教育学背景的专家则可能关心是否体现出最新的教育理念或教学模式是否有所改变;而数学家和数学教师则更多关注这节课是不是数学课,要实现怎样的数学教育价值。从这两个案例的教学目标分析看,制订的教学目标几乎相同,这三部分人的关注点都写进去了。这似乎反映了当前一般数学教师的困境,他们既要满足来自不同背景专家的要求,又要完成本身数学教学的任务。于是问题就出现了——教师常常感到无所适从。一节课要面面俱到就可能导致面面不到,什么都蜻蜓点水、浮光掠影,无法深入,甚至喧宾夺主、主次不分。结果可能把课上成了四不像的表演课,倒是显现出了一些教育改革理念或教育技术理念,但却不是优质甚至可以说是不及格的数学课。

那么对于一节数学课来说,最主要的教学目标是什么呢?当然应该是突出数学的本质,实现本节课的数学教育价值。在A、B两文的认知目标里都写进了“让学生知道正三角形、正方形、正六边形及一些正多边形的组合能够铺满地面;且理解正多边形能够铺满地面的道理”,应该说这个目标是基本正确的,但似乎应该写得更准确和全面些。比如“理解正多边形能够铺满地面的道理”的表述就不太准确,其实并不是任意的正多边形都能镶嵌平面(正五边形、正七边形就不能),也不是只有正多边形才能够镶嵌成平面图案(课本中就提到了任意三角形、任意四边形都可以镶嵌成一个平面图案)。如果改成“知道正三角形、正方形、正六边形能够铺满地面以及其中的道理,同时了解一般多边形能够镶嵌平面需要满足的两个条件”或许更好些,这样关于镶嵌的数学模型思想就能体现得更具体、清晰一些。

数学是思维的科学,数学离不开思维,所以关注数学的教育价值必然关注课堂的数学思维质量。著名数学家柯朗说过:“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性。”在镶嵌的课题学习中,我们可以感受到这种基本要素在能动地促进着数学思考发展中的作用:直观上看到了正三角形、正方形、正六边形能够铺满地面的事实并不满足,还要从逻辑上理解为什么这三种正多边形而且只有这三种正多边形能够镶嵌平面的理由;不满足于特殊的、单个的正多边形的镶嵌,而要归纳出一般的多边形能够镶嵌平面需要满足的两个条件;又从分析这些条件入手,着手设计、构造多种不同形式的镶嵌图案,如通过任意三角形和四边形铺满地面,或通过一些正多边形的组合铺满地面。在这个过程中,学生感受到了数学思维的魅力,提高了数学思维的水平。

实际来说,学生看到正三角形、正方形、正六边形能够铺满地面的事实并不需要太多思考,而能理解其中的道理,数学教育的价值就增加了。所谓用同样大小的正多边形镶嵌平面,就是要求用正多边形“无缝隙”地铺满地面,其关键是怎样刻画“无缝隙”。“无缝隙”在数学上就需要用“在每一个公共点处几个多边形的顶角之和恰好等于360°”来刻画,形式化表达上述条件则是等式表(其中n表示正多边形的边数,m表示正多边形的个数)。这个公式很容易便转化成 ,考虑到n和m的实际意义(它们必须是正整数),于是n≥3且n-2≤4,所以n只可能取3、4、5、6。而当n=5时, 不是正整数,这就是所谓的“数学化”,从而解释清楚了正三角形、正方形、正六边形够铺满地面,也只能用这三种正多边形铺满地面的道理。

从启发学生数学思维的角度看,案例B做得好一些,虽然不像上面给出了正多边形镶嵌平面的理由,但同样在启发如何从学生的现有水平进行数学思考上下了工夫。教师在实验探索环节提了两个问题:①哪些正多边形可以铺满地面;②为什么正三角形、正方形、正六边形可以铺满地面,而正五边形不可以呢?在学生各抒己见之后,教师引导得出结论——能铺满地面的必备条件:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角之和=360°。紧接着教师布置了练习:是不是任意两种正多边形都可以组合起来铺满地面呢?教师的问题与学生的动手实验有机地结合起来,有效地促进了学生的数学思考。之后的深入与探究中的问题设计也体现了这种教学设计理念,是应该充分加以肯定的。

另外,值得提倡的还有获得数学知识的途径。传统的数学教学一般是沿着“定义→假设→定理(或公式)→证明”这么一条演绎的道路进行的,而许多数学成果的发现却往往是沿着另一条途径得到的,即从“若干实例出发→通过大量实验→发现可能存在的规律→提出猜想→进行证明或拓广→实际应用”。这两个教学案例都是按照实验、归纳、猜想的思路组织教学活动的,这是案例的亮点。特别是案例A明确地提出信息技术支持的数学实验课的概念,这是很有价值的提法,是当前数学教学改革关注的热点。建议对此进行深入的研究,例如数学实验的策略和设计、实验的组织与实施、实验结果与过程的描述、数学猜想的提出与验证或论证、数学实验结果的撰写与交流等。

综上,我们认为应该以数学教育价值作为评价信息技术与数学学科整合的首要标准。一节好的信息技术与数学的整合课首先应该是一节好的数学课,信息技术应该为此服务而不是相反。这样才能使信息技术自然地融入数学教学,使学生真正学有所得,避免华而不实、表面繁荣的为技术而技术的“作秀”。

三、如何看待信息技术在数学整合中的作用

两个案例都介绍了信息技术在教学的应用,我们可以就此探讨的是这两节课使用的是什么技术、怎样使用的,特别是技术在实现教学目标中起到了怎样的作用。

首先,谈谈从本节课的教学需求出发,需要提供哪些技术支持。本课的镶嵌教学主要提出两条需求:一是加强教学的直观性,让学生先从直观上看到丰富的镶嵌图形以及看到镶嵌的过程,以便从中感悟镶嵌中的数学原理;二是创设良好的数学实验环境,让学生通过动手操作,发现镶嵌的数学原理,构造出自己设计的、丰富多彩的镶嵌图案。

如果不用技术,这两条需求能否满足吗?例如展示一些镶嵌图形或通过动手摆放一些纸片实现图形的镶嵌,这不是也可以吗?但实际上不管是事先做、现场画,还是预先准备许多不同形状的纸片现场摆放,操作起来都很不方便,耗时费力不说,图形还不易准确。所以从学科教学的角度考虑,需要有强大处理图形功能的技术支持,可快速、准确地呈现教学需要的图形,并支持图形的平移、对称、旋转等变换,方便地复制和粘贴,这将极大提高教学的直观性和数学实验的范围、效率与质量。这应该是技术在本节数学课使用中的切入点。

从技术的使用看,两个案例都选准了技术的切入点,A使用了LOGO、B使用了FLASH,而不是现在一般课堂教学使用的PPT。这说明两位教师从学科教学角度,看中了信息技术强大的处理图形的功能和一定的人机交互功能,而不是多种媒体的同时刺激作用。从案例A中我们看到学生通过几个简单的LOGO基本命令,就可以在计算机上进行作图实验,实现单个几何图形和多个几何图形的镶嵌,把算法和课题学习有机地融合在了一起。计算机屏幕不仅呈现出学生动手做的不同镶嵌图形,而且也呈现出了作图过程的程序。案例B只是说让学生在电脑上利用软件进行实验,但没有反映出怎样让学生在电脑上进行实验。不过从数学教学的角度看,LOGO应该比FLASH更适合数学的学科特点。顺便指出,我们不应受限于某种特定的软件平台,现我们知道的软件平台如“几何画板”、“Z+Z超级画板”等也都具有强大的智能作图功能,此外它们还具有动态测量、生成动态图形、轨迹跟踪等多种功能,也可用于类似镶嵌内容的教学。因为数学研究的对象是数量关系和空间形式,而一般的信息技术软件难于满足数学学科教学方面的特殊需求,所以应重视挖掘特别为数学教学研发的智能软件平台在教学方面的潜力。

选准了技术的切入点之后,更重要的是教学设计,考虑在什么环节使用技术以及如何使用技术。课题的学习,应“下要保底、上不封顶”。所谓“下要保底”,就是要突出重点,让所有学生通过本节课的学习,达到最基本的要求。而“上不封顶”则是要鼓励学生放开思路,从多角度、多层次进行探索和创新。这样看来,教学设计的立脚点还是数学学科教学,而不是信息技术。本节课的重点是相同正多边形的镶嵌,对此,案例B似乎比案例A处理得更细致一些。案例A在单个几何图形的镶嵌环节里,更多地让学生把注意力集中到了图形的变换上,这似乎有些不妥。其实,单个几何图形是否能够镶嵌与信息技术提供的变换功能无关,应该从相邻多边形的边和角的关系去考虑。只有满足了相应的条件,才能通过适当的变换,实现图形的镶嵌。同时,这里也没有必要让学生比较使用信息技术与不使用信息技术的镶嵌效果。对于更复杂的镶嵌,案例A教学时教师如果能够给学生提出一些建议,教学效果可能更好。例如建议学生按照从“相同正多边形的镶嵌—几种不同正多边形的镶嵌—非正多边形的镶嵌—重复花样图形的镶嵌—凹多边形的镶嵌”等这样由简单到复杂的顺序,分门别类地进行探讨,也可以因势利导,从学生得出的结果,引发更深入的课堂讨论。顺便指出,信息技术支持下的“做”数学,不等于单纯的计算机动手操作,而是在信息技术的支持下“研究”数学。因此,问题的设计、必要的引导、师生的交流、对实验报告撰写的要求都应与计算机操作有机结合起来。

对于课题学习这种课型,既要放手让学生活动又要对学生给以必要的组织和引导。当然,对于镶嵌的复杂问题,不可能都在这一节课里彻底解决,但留下一些“余味未尽”的感觉,把研究从课内延伸到课外、让学有余力的学生继续深入下去不是很好吗?这时,网络就可以发挥作用了。案例B是在拓展与交流环节中,让学生上网查询感兴趣的镶嵌网站,并在BBS上展示搜索结果,其实这也可以放在课外。还可以考虑利用课外活动时间组织一个“学术报告会”,让学生宣讲他们研究的关于镶嵌的小论文,展示自己设计的镶嵌图案,开展经常性的小科研活动。

四、对于信息技术整合课的“反思”

教学反思应该是具体的、有针对性的、实事求是的,应尽量避免说一些空话、套话。类似于“在本节课教学哪些环节使用了信息技术取得了明显的成效,成效是什么”,“技术是怎样使用的”,“哪些教学环节不需要使用技术却滥用了技术”,“信息技术怎样与其他教学手段配合”,“师生的活动以及互动方式”等这些具体问题的反思才是大家关心的,也对于提高今后信息技术整合的质量真正有所帮助。当然,反思不可能涉及以上所有问题,那就把自己的突出感受写出来,重点讲清一两个问题即可。

注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”