高中选修《开关电路与布尔代数》的内容分析与教学建议

人教A版普通高中数学课程标准实验教科书(选修4-10)《开关电路与布尔代数》是根据教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)选修系列4第10个专题“开关电路与布尔代数”的要求编写的根据《标准》的要求,教科书以开关电路设计为背景引入一种类似数的对象并引入这些对象之间的运算因为,在初中物理中,我们都学习了基本电路——串联电路和并联电路已经熟悉了这些电路的基本功能,也能熟练地利用这些电路搭建较为复杂的电路那么能不能用数学来帮助我们刻画这些现象呢?于是,我们将对这种新的运算系统进行探讨,得出类似于“数的运算”的各种性质最后应用这个数学理论,彻底解决开关电路的设计问题这就是本专题将要解决的问题本文结合教学实践,通过具体的典型案例分析其中的重要数学思想,并提出教学建议,以期抛砖引玉

1 《标准》中对开关电路与布尔代数的定位

开关电路与布尔代数是《标准》中新增加的内容,《标准》在高中数学课程选修系列4中设置了开关电路与布尔代数的内容,开设的目的是:让学生体会数学从不同的实际问题经抽象、概括后,得到符号化、形式化的数学理论,最后将该理论应用到解决实际问题的一般规律

本专题以设计由三人控制一个电灯的电路为背景,从开关电路设计,提出一个具体问题,将电路设计数学化为电路代数和电路多项式,完全解决最初提出的问题,完整地给出一个电路代数的数学模型,这也是布尔代数的一个实际应用,从中感受到数学化的抽象过程,以及数学理论的应用价值

由电路的“并”、“串”联和“逆反”产生的新电路的状态{0,1}是由原电路的状态{0,1}经过运算+、×和余(0-=1,1-=0)得到的此外,本专题中关于由简单命题通过“或”、“且”和“非”(“否定”)组成的新命题的真与伪,也是由原命题的真与伪,经过运算+、×和余((0-=1,1-=0)得到的它们是一脉相承的,这些运算与中学数学所学的数与多项式的运算也有相似之处因此,本专题的学习对学生深入认识数与多项式的本质也是非常有益的

2 典型教学案例及重点、难点教学建议

2.1 布尔代数的引入

布尔代数概念的引入对于初学者是一个难点,《标准》指出:本专题应充分体现从实际问题转化为数学问题,用数学的方法解决实际问题的过程;体现不同的实际问题经抽象、概括后,可得到相同的数学概念、乃至同一数学理论为此,笔者将教材中的第一章和第四章的内容重新整合,通过开关电路和命题及其真值的逻辑分析,对布尔代数概念的引入进行教学创新设计

案例1 布尔代数的引入——开关电路与命题演算

2.1.1 教学的重点与难点

(1)通过实例,理解开关电路、命题逻辑的概念,并掌握它们的符号表示

(2)基本掌握开关电路图与数学表达式之间、自然语言与符号语言之间的相互转换

(3)了解真值表的含义及作用,会求真值表

(4)初步了解开关电路和命题逻辑在结构和规律上的共同点

2.1.2 基本思想分析

在实际生活中,识别一些简单的电路已成为当代人的一种常识简单的电路一般是由电源、开关、用电器等组成,开关只有接通和断开两种状态,电灯只有灯亮和灯灭两种状态因此,为研究问题的方便,不妨用1和0表示具体问题中的两种状态,而不作算术中的数目考虑

在数学中,用来表示数学判断的语句或者符号的组合称为数学命题,因此,数学命题也是具有真假意义的语句或者式子既然命题的真假性惟一确定,我们不妨将真命题的值记为1,将假命题的值记为0,1与0都叫做命题的真值在逻辑学中,命题一般用小写的字母p,q,r,s,……表示,另外,逻辑学中还有5种逻辑符号,分别是“析取符(∨)”、“合取符(∧)”、“否定符()”、“蕴含符(→)”、“等值符()”,把命题用这些符号联结起来,就构成了不同的复合命题

描述一个数字系统,必须反映一个复杂系统中各开关元件之间的联系,这种相互联系反映到数学上就是几种运算关系逻辑代数中定义了“或”、“与”、“非”三种基本运算

(1)“或”运算

如果决定某一事件是否发生的多个条件中,只要有一个或一个以上条件成立,事件便可发生,则这种因果关系称之为“或”逻辑

例如,用两个开关并联控制一个灯的照明控制电路电路图及运算表如下图1所示

图1

逻辑代数中,“或”逻辑用“或”运算描述其运算符号为“+”,有时也用“∨”表示两变量“或”运算的关系可表示为F=A+B或者 F=A∨B ,读作“F等于A或B”

在图1所示电路中,假定开关断开用0表示,开关闭合用1表示;灯灭用0表示,灯亮用1表示,则灯F与开关A、B的关系如下表所示 即:A、B中只要有一个为1,则F为1;仅当A、B均为0时,F才为0“或”运算的运算法则:

0 + 0 = 01 + 0 = 1

0 + 1 = 11 + 1 = 1

实现“或”运算关系的逻辑电路称为“或”门

(2)“与” 运算

如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备,事件才能发生,则这种因果关系称之为“与”逻辑

在逻辑代数中,“与”逻辑关系用“与”运算描述其运算符号为“·”,有时也用“∧”表示两变量“与”运算关系可表示为F=A·B 或者 F=A∧B 即:若A、B均为1,则F为1;否则,F为0“与”逻辑关系如图2中表所示

图2

图2所示电路中,两个开关串联控制同一个灯显然,仅当两个开关均闭合时,灯才能亮,否则,灯灭 假定开关闭合状态用1表示,断开状态用0表示,灯亮用1表示,灯灭用0表示,则电路中灯F和开关A、B之间的关系即上表所示的“与”运算关系 “与”运算的运算法则:

0 · 0 = 01 · 0 = 0

0 · 1 = 01 · 1 = 1

数字系统中,实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门

(3)“非” 运算

如果某一事件的发生取决于条件的否定,即事件与事件发生的条件之间构成矛盾,则这种因果关系称为“非”逻辑

在逻辑代数中,“非”逻辑用“非”运算描述其运算符号为“-”,有时也用“¬”表示“非”运算的逻辑关系可表示为:F= 或者 F=¬A,读作“F等于A非” 即如图3所示:若A为0,则F为1;若A为1,则F为0

图3

“非”运算的运算法则:

数字系统中实现“非”运算功能的逻辑电路称为“非”门,有时又称为“反相器”其运算法则为:0-=1,1-=0

2.1.3 教学建议

(1)上面介绍的实际上是预备知识,为引入布尔代数概念作铺垫用数学方式描述开关电路和命题逻辑,目的为图4了突出二者之间的联系,教学时应将开关电路和命题逻辑内容进行比较,通过类比,加深学习者对数学的认识和对本质的理解,了解开关电路和命题逻辑在结构和规律上的相同性

(2)布尔代数的定义通常有两种形式,即形式公理化定义和有补分配格定义,这两种定义的方式或抽象或复杂,学生理解上有一定困难为了使学生更易接受布尔代数这个抽象的概念,教学应作相应处理,将学术形态知识转化成教育形态的知识通过学生已较熟悉的开关电路知识抽象出布尔代数的定义,此时,进一步让学生思考:实际上接点的串联和并联构成了接点的“运算”,而每一个接点接通与断开的状态决定了电路的状态将接点的“运算”与电路状态联系起来,并用字母表示出来,就是开关电路的代数化的过程比如,任何一个电路,如图4所示,可表示一个“代数”式:((a·b)+(c·d))+a-,当然每一个类似上面这样由小写字母(表示开关)经“+”,“·”,“-”,以及适当的符号连接起来的式子也给出一个电路来欲知图4电路的效应,当a=1(开关a处于“通”状态),b=0,c=1,d=1时电路的状态是什么,只把这些值代入上面的式子,按照运算的规则进行计算即得,这就是:((1·0)+(1·1))+1-=(0+1)+0=1+0=1,即此时电路的状态是“通”显然,解决这些问题之后,在数学中引入布尔代数的定义就水到渠成了这样更加符合学生的认知规律,较易为学生所接受然后在理论上再作进一步的提升,指出开关电路和命题逻辑的数学描述都可以看成二元布尔代数,即二元布尔代数就是从开关电路和命题逻辑这两个系统中抽象出来的数学模型;反之,布尔代数是开关电路和命题逻辑的抽象

(3)高度的抽象性及其带来的符号化、形式化是数学的基本特征之一教学中通过用数学方式描述开关电路和命题逻辑,让学生体会不同的实际问题经抽象、概括后,可得到相同的数学概念、运算法则,乃至同一数学理论;反之,同一数学概念、运算法则和数学理论可应用到表面看来完全不同的实际问题中,向学生揭示开关电路和命题逻辑这两门完全不同的学科在结构和规律上的相同性使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高解决问题的能力

2.2 布尔代数

从案例1我们可以看出:如果将电路中灯F的明灭情况看作逻辑“加(+)”(相当于复合命题p∨q的真假情况看作“析取(∨)”)的运算,串联电路中灯F的明灭情况看作逻辑“乘(·)”(相当于复合命题p∧q的真假情况看作“合取(∧)”)的运算,逆反电路中灯F的明灭情况看作逻辑“非(-)”(相当于复合命题¬p的真假情况看作“非(-)”)的运算,且开关A,B的取值只有1,0两种情况(相当于命题的真假取值只有1,0两种情况),将0,1构成的集合记为M,则可引入布尔代数的概念

案例2 布尔代数的概念及其性质

2.2.1 教学的重点与难点

(1)通过开关电路,理解代数系统、二元布尔代数的概念

(2)体会从具体事物中抽象出数学模型的方法,了解二元布尔代数就是从开关电路和命题逻辑这两个系统中抽象出来的数学模型

(3)了解布尔代数的9组运算律,并能正确应用

(4)布尔代数与普通代数的比较

2.2.2 基本思想分析

(1)概念的理解

设M={0,1},若在M上定义了“加(+)”、“乘(·)”、“非(-)”三种基本运算,a,b是取值于集合M的任意两变元,且a,b关于这三种基本运算满足下表:

aba +ba·ba-

00001

01101

10100

11110

则称集合M对所定义的运算构成布尔代数,记为{M={0,1};+,·,-,},0 叫做零元素,1叫做单位元素,叫做a的否定或补元素,a+b叫做a与b的布尔和,a·b叫做a与b的布尔积(为了研究问题的方便,布尔积符号“·”常省略不写)

如果把字母a,b解释为开关通与不通的两种状态,那么{M={0,1};+,·,-,}称为布尔代数;如果把字母a,b解释为命题真与假对应的取值,那么{M={0,1};+,·,-,}称为命题代数因此,布尔代数是命题代数和开关代数的抽象概括,命题代数和开关代数是布尔代数的两个具体模型

(2)布尔代数与普通代数的比较

为了今后应用方便,避免差错,我们应将布尔代数的运算规律与普通代数的运算规律进行对比,比较它们的异同① 常量与常量关系的等式

布尔代数只含有0和1两个常量布尔代数与普通代数共有的等式:1+0=0+1;1·0=0·1=0;0+0=0;0·0=0;1·1=1. 布尔代数特有的等式1+1=1.

② 变量与常量关系的等式

布尔代数与普通代数共有的等式:

a+0=a;a·1=a;a·0=0.

布尔代数特有的等式:

a+1=a;a+a-=1;aa-=0.

③ 运算定律

布尔代数与普通代数共有的定律:交换律:a+b= b+a;ab=ba

结合律:(a+b)+c=a+(b+c) ;

(ab)c=a(bc);

乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac;

布尔代数特有的运算定律——加法对乘法的分配律:a+bc=(a+b)(a+c)

注意:由布尔代数和普通代数所共有的运算规律推证的公式、法则等,在这两种代数里都是成立的比如,(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

④ 布尔代数的一些特有的公式

幂等律:a+a=a;aa=a

吸收律:a+ab=a;a(a+b)=a

二次互补律:a==a

德莫根定律:a+b=a-b-;ab=a-+b-

注意:布尔代数里的三种布尔运算都是没有逆运算的

2.2.3 教学建议

(1)布尔代数是一种特殊的代数系统,与其它的代数系统相比较,布尔代数有满足自身特点的运算律关于运算律的教学应注意与数系相类比,因为数系提示我们:乘法对加法的分配律是否在布尔代数中也成立,有趣的是,在布尔代数中,不仅a(b+c)=ab+ac成立,并且也有加法对乘法的分配律,a+bc=(a+b)(a+c)成立另外,对于运算律的证明应引导学生既要从数学证明(即验算),又要将布尔代数与开关电路相联系,因为物理也会给我们启示,这些等式在布尔代数中可能是对的,例如,两个开关a并联和由一个开关a作成的电路是等效的(即物理证明),这提示我们a+a=a在布尔代数中该是对的,类似地aa=a在布尔代数中也是对的因此,在教学中,教师要注意从具体到抽象,通过易懂的实例,帮助学生理解和掌握基本概念和基本思想在布尔代数的运算及其运算律的教学过程中,注意与学生所熟悉的初等数学中的数与多项式的运算进行比较,二者之间既有相同之处,又有不同之处

(2)本案例适合采用开放式教学,因为布尔代数的运算律可看成是结论开放性的问题,同时,等值初等定理是布尔代数里的一个基本定理,由其推出来的一些重要而常用的公式称之为等值公式这些公式给我们提供了丰富的开放性探究素材因此,在教学过程中,教师应尽可能设置开放性数学情境,并引导学生由教师所提供的开放性数学情境进行多角度、多层次地思考和提出开放性的数学问题,进而引导学生在问题解决中自主学习、合作交流,进行多解、多问、多变的发散思考,从而获得各自创造性思维的发展但是,应注意一点,教师在课堂教学活动的全过程中,要十分重视学生的个性发展:学生提出问题与解决问题是有差别的,尤其要关注有价值的问题以及开放性问题的提出和奇异的思考;对差生的积极性更要十分关注努力促使不同的学生在数学上得到不同的发展

(3)教学中应注重渗透数学文化数学本身就是一种文化,数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志在教学过程中,应尽可能结合布尔代数与开关电路的内容,介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物,反映数学在人类社会进步、人类文明建设中的作用,同时也反映社会发展对数学发展的促进作用例如,介绍英国数学家布尔(G. Boole)建立布尔代数的过程,以及美国电器工程师香农(C.E.Shannon)应用布尔代数进行开关电路分析与设计的过程激发学生对数学创新原动力的认识,接受优秀文化的熏陶,从而提高自身的文化素养和创新意识

2.3 布尔函数

前面研究了布尔加、布尔乘、布尔非三种最基本的运算在实际问题中,这三种布尔运算很少单独出现,而经常是以这些运算构成复杂程度不同的布尔关系式出现这就是布尔函数

案例3 布尔函数

2.3.1 教学的重点与难点

(1)了解布尔函数、布尔表达式的概念,并了解二者之间的对应关系

(2)了解“标准积和范式(主析取范式)”及“标准和积范式(主合取范式)”的概念,体会任何布尔表达式都可以化成标准范式的思想和内涵

(3)开关电路图与数学表达式,自然语言和符号语言之间的互化

(4)应用运算律对布尔表达式(布尔函数)进行证明、化简

(5)实际问题的电路设计.将实际问题转化为数学问题,再应用数学方法解决实际问题

2.3.2 基本思想分析

(1)定义的理解

设a1,a2,a3,…an是布尔代数{M={0,1};+,·,-,}上的n个变元,若对a1,a2,a3,…,an的每一组取值经过有限次布尔运算(+,·,-),都惟一的确定另一个取值于M={0,1}的布尔变量f,f就称为a1,a2,a3,…,an的布尔函数记为f(a1,a2,a3,…,an)

显然,a1,a2,a3,…,an,f都在集合M={0,1}上取值例如:f=(a+b)c,f=a-b+ab-等都是布尔函数,事实上,前面讲的布尔加、布尔乘、布尔非都是布尔函数

如果a1,a2,a3,…,an表示命题,那么,f(a1,a2,a3,…,an)表示一个复合命题,这里也称f(a1,a2,a3,…,an)为命题函数;如果a1,a2,a3,…,an表示开关,那么,f(a1,a2,a3,…,an)表示一个布尔电路这里也称f(a1,a2,a3,…,an)为开关函数

一个布尔函数包含的基本布尔运算,在没有括号的情况下,先计算布尔非,再计算布尔乘,最后计算布尔加;在有括号的情况下,先计算括号内的式子

(2)布尔函数的相等

定义:设f(a1,a2,a3,…,an)和g(a1,a2,a3,…,an)为布尔函数,若对于布尔变量ai的每一组取值,对应f和g的值都相同,则称f和g相等,或者说,f和g等价,记为f=g

每一个布尔函数都有一个真值表,由布尔函数的定义可知:两个布尔函数相等的充要条件是它们的真值表相同因此,要证明两个布尔函数相等,只要列出它们的真值表,再比较两个真值表,便可得出结论在证明过程中,为了减少差错,有时把必要的中间结果也列出来

例1 已知f(a,b,c)=(a+b-)c,g(a,b,c)=a-bc,求证:f=g

证明:由变量a,b,c的各种取值得出函数f和g的对应值列表为

显然,f=g

从命题角度来讲,布尔函数f和布尔函数g相等,就是命题f与g等价从开关角度讲,布尔函数f和布尔函数g相等,就是f所表示的开关电路与g所表示的开关电路功能相同

(3)布尔函数的完全性

在初等函数里,任意一个初等函数都可以由基本初等函数的四则运算和复合运算得到同样,在布尔函数里,任一个布尔函数,也可以由它的布尔变量经过最基本的布尔运算而得到可以证明:任意一个具有n个变元的布尔函数f(a1,a2,a3,…,an)都可以由变元a1,a2,a3,…,an经过最基本的布尔运算而得到布尔函数的这种性质,叫做布尔函数的完全性实际上,布尔函数的完全性有以下定理做保证

定理 任意一个具有n个变量的布尔函数f(a1,a2,a3,…,an)都可以由变量a1,a2,a3,…,an经过最基本的布尔运算而得到

由布尔函数的完全性可知,任意一个布尔函数都可以由“或”门、“与”门、“非”门组成的电路来实现它的功能

(4)布尔函数的标准形式

定义1 布尔函数f(a1,a2,a3,…,an)的“积之和”的形式f(a1,a2,a3,…,an)=∑ipi(其中pi=ja±1j,且a+1j与a-1j在pi中不同时出现,这里a+1j与a-1j互为逆变量)称作布尔函数f的第一标准形式(也有叫析取标准形式或“与-或”表达式的)pi叫做它的项

注意 在布尔函数的第一种表达式里,ak与ak不一定是它的项pi的因子,也可能ak与ak都不是pi的因子利用等值公式,可将任意一个布尔函数化为第一种标准形式

定义2 布尔函数f(a1,a2,a3,…,an)的“和之积”的形式f(a1,a2,a3,…,an)=iSi

(其中si=∑ja±1j,且a+1j与a-1j在si中不同时出现), 称作布尔函数f的第二标准形式(也有叫合取标准形式或“或-与”表达式的)si叫做它的因子

注意:布尔函数的第二种标准形式,ak与ak不一定是因子si的项,也可能ak与ak都不是si的项利用等值公式,可将任意一个布尔函数化为第二种标准形式例2 化布尔函数f(a1,a2,a3,…,an)=ab+a-c为第二种标准形式

解 利用反演规则,先求f-;再化f-为第一种标准式;最后求f==f,便是f的第二种标准形式

f-(a,b,c)=ab+a-c=(a-+b-)(a+c-)

=a-a+a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-

f(a,b,c)=f=(a,b,c)=ab-+a-c-=(a-+b)(a+c).2.3.3 教学建议

(1)为了更好地讲解本案例,教学中应注意处理好如下关系:①“操作与理解”——系列

4既不是科普读物,也不是理论专著应在充分的活动、操作的基础上,使学生理解专题中的核心概念和基本数学思想比如,讲解布尔函数时,我们可以这样设计:很多实际问题都希望能在某种输入的情况下有某种输出,就像三人控制一灯的情形,这往往可抽象成一个n元布尔函数,这里告诉你布尔函数都可用布尔多项式实现,而在以前我们知道布尔多项式都可以由一个开关电路实现,这样那个实际问题也就可以由一个开关电路来实现,现在你应该能画出实现三人控制一灯的开关电路了②“基础与拓展”——从已有的内容出发,引导学生自主探究,做适当的拓展与延伸,在处理问题的思想方法、在思维发展上获得突破比如,对于例2的处理,把一个布尔函数化为第二种标准形式,也可以不按例2的步骤来求得比如

f(a,b,c)=ab+a-c=(ab+a-)(ab+c)

=(a+a-)(a-+b)(a+c)(b+c)

=(a-+b)(a+c)

所以,把一个布尔函数化为第二种标准形式,要视具体情况而采用较简便的方法

(2)在本案例教学过程中还应该针对一些问题,组织学生具体实现一些开关电路或逻辑电路,以增强学生应用数学的意识,加深对所学知识的理解与把握教师或教材编写者可以考虑增加一些选学的内容,比如关于逻辑电路的问题进一步,可以考虑设置专题来介绍或讨论一些利用基本逻辑门电路制作的电子元件,比如半加器、全加器与数字表示器等这也就是布尔代数在电子计算机的应用问题了对电子计算机进行逻辑设计时,有时设计一个布尔电路,需要判断它是否是最经济(所用的材料最少),效果最好的布尔电路对于复杂的布尔电路,这个问题单凭经验是不能解决的,这就需要借助于布尔代数:第一步,用布尔函数来描述设计的布尔电路;第二步,化简布尔函数;第三步,画出与布尔函数最简式对应的布尔电路,从而得到与设计布尔电路逻辑功能相同的最好的布尔电路

(3)对于本案例的学习,还应提倡对学生进行多元化评价既要重视对学生数学学习过程的评价,又要重视数学基础知识、基本技能和基本活动经验的评价另外,还可以结合撰写论文或写总结报告的形式进行评价总结报告可以是以下方面的内容:①知识的总结;②拓展;③对本专题的感受、体会、看法具体的选题可以参考教材的“课程总结报告参考题”数学论文或总结报告可以记入学生成长记录袋,作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据

作者简介

黄丽生,男,山东师范大学数学教育专业硕士中国管理科学研究院学术委员会特约研究员;山东省初等数学研究会成员主要从事数学教育及竞赛数学的研究已在30余家刊物上发表文章200余篇.主编、参编《高中数学必读》、《名师手把手辅导》等著作10部2004年论文〈新课程背景下数学探究性学习的教学模式初探〉荣获全国教育科学“十五”规划重点课题“数学教学效率论”中期成果检查会暨首届全国研讨会科研成果一等奖2003年参与“十五”规划教育部基础教育课程教材改革子项目“校本教研队伍能力建设”的研究工作,已取得了阶段性成果个人学术成果曾在山东曲阜师范大学主办的《中学数学杂志》(2004,5)“新秀近作”栏目中报道.

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文