高等数学教学设计之动力催生策略

【摘 要】鉴于高等数学教学过程中存在学生学习动力不足的现状,本文针对教学设计具体地给出动力催生策略.就是在课程概述、知识点引入以及例题选择等方面着手,通过引入数学史、工程实践性案例、趣味案例以及例题与引题呼应等策略提升课程在学生心中的价值表现和趣味性等,这些策略不仅可以催生学生学习动力,而且常常能使课堂教学的教育功能立体化。

【关键字】高等数学;教学设计;动力催生;工程实践性案例;趣味性案例

中图分类号: G434;O13-4 文献标识码: A 文章编号: 2095-2457(2018)26-0088-002

DOI:10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.037

The motivational strategies of the teaching-design of advanced mathematics

TENG Yuan-jiang

(Hunan institute of engineering,Hunan Xiangtan 411104,China)

【Abstract】Because of the actuality,that it is lack of learning motives on advanced mathematics,in the process of teaching design in detail, this paper presents dynamic creating strategy.In the course outline,knowledge introduction and sample selection and other aspects, by introducing the history of mathematics,engineering case of practical cases,taste and examples and teasers echo strategies such as increase the value of the course in the student mind and interest, etc.These strategies can not only gave rise to students’ learning motivation,but also often make the classroom teaching the education function of three-dimensional.

【Key words】Advanced mathematics;Teaching design;power generation;Engineering practical cases;Interesting cases

隨着时代发展,青少年学生心理姿态发生了深刻的变化.相当大比例学生表现出如下特征:一是“变现”心理明显,要求所学的课程必须有明显的价值性;而是“逐乐”意识强烈,课程没有趣味性就难以有学习动力.教师必须客观对待这种态势,在教学设计上下功夫,充分显示高等数学的工程实践性(价值)和趣味性.显然这并不是简单地迎合学生的口味,而是保证教学有效性本应有的设计.

1 教学开篇课程概述环节上发力

之前的教学环节中课程概述一般都有,但过于轻描淡写,缺乏设计,没能为后续教学提供充分动力.概述通常是课程教学第一课,开局有力,后续才好使手段;开局平淡,课程教学基调上就黯然了.本文有如下建议:

1.1 概述要有相关数学史介绍

微积分数学史相较于高等数学章节具体内容是轻松有趣的:极限理论之于微积分的可靠性、物理学与几何学的发展需求决定了微积分诞生的必然性.祖暅、卡瓦列里、柯西、黎曼、牛顿和莱布尼兹等代表人物的探索轨迹等能让学生明白高等数学课程从哪里来,能干什么,要去哪里.

祖暅原理比卡瓦列里提出的等价命题要早1100多年,这样的案例能让学生建立人种自信和民族自豪感. 同时,中国古人已经有了深刻的极限和微积分思想,为什么真正创立立微积分的缺不是中国人能够引起青年人对民族文化和社会的思考.

1.2 概述要明确介绍高等数学的工程实践性

马克思说:“一门学科,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.” 微积分在数学中的形象又尤为耀眼. 初等数学认识事物及其规律是静态的、孤立的,高等数学(微积分)认识事物及其规律则是动态的、辩证的、相关联的. 时至今日,在大学的所有经济类、理工类专业中,微积分总是被列为一门重要的基础理论课.

概述部分不可能具体深入地讲实践应用,但介绍微积分应用领域之广泛能够让学生初步意识到高等数学的价值性.

2 概念和方法的引入介绍要从工程实践案例中来,再回到工程实践案例中去

概念和方法是知识体系的核心,如何让学生欣然接受新的概念和方法是保证教学质量的核心问题.凸显概念方法跟学生对应专业的紧密联系在教学实践中有重要意义,且是催生学生课程学习动力的重要源泉.

2.1 坚持从学生对应专业领域工程实践中选择引题案例

概念都是抽象的.如果不明白概念在生活实践中的来源,学生大多不可能真正明白该概念的含义,进而也就不能真正掌握这个概念.

专业实践中的案例能引起学生的高度关注,激发学生的探索兴趣,对整个课程教学的连贯性起着至关重要的的作用.

专业实践中的案例进行归纳,找出共性,便使得概念的提出睡到渠成. 学生顿时觉得此概念十分重要,应用价值大.

2.2 章节例题要跟引题案例相呼应

从现有的教材选编例题看,偏纯数学的抽象性的普遍,工程应用性的少见.这个情况只适合中学通识训练,大学完全按照这种教材选例进行教学实践跟专业距离太大,不利于引起学生的认知共鸣.

2.3 对典型问题处理方法要追求厚重普遍性,不能追求偶然简便性

例如导数概念要进行专业性引申.具体说,如物理上要强调位移关于时间的导数为速度,速度关于时间的导数为加速度;电位关于空间的梯度是负场强,场强的等势面(线)即为电位.经济学中的边际概念、弹性概念等常常都归结为导数模型.

再比如,有理函数积分关于复杂分式的拆分,在电路中有普遍的应用.

3 教学设计上要精心选择一些趣味性案例

趣味性案例有很多,而且趣味性的表象形式也多种多样. 案例的处理方法新颖独特是趣味性;案例的结果跟直观差距大,出乎意料是趣味性;案例的处理过程富有幽默感和感染力是趣味性;案例的表现紧贴热点资讯或者具有批判性,能引起青年学生对人生的感悟也是趣味性.

趣味性案例的意义不仅仅添加快乐轻松感,而且快乐的背后常常伴随着科学和人文的启发,为知识目标、能力目标以及情感和哲学思辨目标的达成贡献力量.

具体案例展示及效应分析

前者对高等数学教学设计之动力催生给出了一般性的建议,下面给出一些具体案例并进行分析示意:

3.1 数列极限的引入

数列极限先要有“无穷序列”这个概念,然后再定义极限.

庄子切椎:一尺之椎,日取其半,万世不竭.

庄子的这个论断既能引出“无穷序列”这个概念,又包含极限思想.两千多年前的古人能有这种认识,让人赞叹!

实际上,这句话映射着一个无穷数列:1,…….其通项为xn=另外,庄子的这个论断也是极限思想和微积分思想萌芽.虽然,直到牛顿、莱布尼兹时代微积分才正式建立,但人类相关思想的萌芽从两千多年前就开始了,我们民族的先人也有贡献!

这种来源于生活的朴素认识能让学生觉得数列及其极限是是实在在的概念 ,学习起来不觉缥缈,而且有趣.

3.2 偏导数的引入

偏导概念是多元微分学的基本概念.由于变量个数由一到多,空間维数由二维到三维及更高维,相较于导数概念,偏导概念更抽象更难掌握.

苏轼《题西林壁》 横看成岭侧成峰……

“横看成岭侧成峰”是苏轼状庐山语句,意思是从不同的角度观察庐山众峰,轮廓线有很大的差异.这个说明空间曲面的坡度走势从不同角度看差异很大!

山体轮廓线实际上是视线法平面在山体表面上的截线,截线坡度走势实际上是截线切线的斜率问题.更重要的是视线法平面上的点在视线轴上的坐标是恒定的,这正是定义偏导的关键:固定另外的自变量,只考虑一各自变量的变化,考察二元(多元)函数关于这个变化的自变量的变化率.

诗词一般是偏感性的,苏轼《题西林壁》中流传更广的是“不识庐山真面目,只缘身在此山中.”但是“横看成岭侧成峰”直观贴切地引出偏导概念,让人称奇!通过这种轻松浪漫的引入,学生更有兴趣去接受偏导概念,常常难度也不觉那么大了.

另外,感性的东西背后都隐藏这理性,理性的出发点永远是感性.学生在学习高等数学课程的同时,也可以反过来去体会唯物论、可知论的正确性.

3.3 定积分在几何中的应用

平面区域若由长度变化的截线段扫出,则其面积等于截线段长度表达式在扫描区间上的积分;空间区域若由面积变化的截面扫出,则其体积等于截面面积表达式在扫描区间上的积分.这两个规律简是直观认识“线动得面;面动得体”的数量规律表现,用定积分元素法很容确认.在介绍这两个结论之前,可以先介绍下祖暅原理.

祖暅原理:夫幂势既同,则积不容异.

祖暅原理的意思是,两个等高的物体,若(同高度)截面面积总相等,则它们的体积必定相等.只要稍稍考虑下我们就会觉得这个论断是合乎情理的:用薄片层叠处一个立体,若高度确定了,那么立体的体积应该只与每层薄片的面积跟厚度相关,跟薄片的形状没有关系.今天,当已知立体扫描截面面积表达式为A(x),跨度区间为x∈[a,b],则立体体积由VA(x)dx给出. 这个式子说明祖暅原理显然是正确的. 虽然定积分比祖暅原理更明确,但祖暅提出这个原理是在1500多年前,比西方卡瓦列里类似论断要早1100多年!从这点看,我们应该在人种上自信,有资格充满民族自豪感.

祖暅原理在本质上其实已蕴含着定积分!祖暅已经走到了这一步,创立微积分理论的却不是中国人,是什么原因让近代中国相比西方在科学上逐渐落后值得我们深思!

先入介绍祖暅原理能让学生认识到历史的传承,发自内心地去崇尚科学. 之后,在讲定积分在几何上的应用就先得衔接很自然. 同时,在获得科学史知识、情感教育的同时,学生还会去进行人文社会思考. 这种案例使课堂教学产生立体教育功能.

高等数学教学动力源泉是多元的,本文仅仅从教学设计的某几个方面谈动力催生策略,并不排斥其它方面还可以作出各种努力.