基于CPFS结构理论的数学概念的创课设计

【摘 要】CPFS结构理论是具有中国特色的数学教育心理学理论。研究表明,基于CPFS结构理论的数学教学设计与实践是改善数学概念教学的可行途径。本文概述CPFS结构理论的关键词,以“导数的几何意义”的教学片段为例,尝试运用CPFS结构理论进行数学概念的创课设计。

【关键词】CPFS结构理论;导数的几何意义;数学创课

一、CPFS结构理论的关键词

基于数学学习心理的结构特征与对数学认知结构的本质剖析,喻平教授于2003年在《数学学习心理的CPFS结构理论》一文中提出CPFS结构理论,其核心包含概念域(concept field)、概念系(concept system)、命题域(proposition field)与命题系(proposition system)四个关键词。CPFS的含义是学生在数学学习过程中积淀形成的、具有数学特色的认知结构,主要由概念、命题之间的联结关系构成一个知识与方法系统。

(一)概念域与概念系

数学概念主要由概念的名称、定义、例子、属性和符号组成。一般说来,可以用不同的等价定义方式揭示同一个概念的内涵。对于同一个数学概念,可以从不同的侧面给出定义,但这些定义是等价的。概念域就是学习者在头脑中形成的关于一个概念的所有等价定义的命题网络和表象。我们说某个学习者形成了某个概念的概念域,是指他在自己的长时记忆中贮存并内化了关于这个概念的一组等价定义[1]。数学概念不是孤立的,定义一个新概念往往要用到相关的旧概念,概念之间一般存在弱抽象、强抽象或广义抽象等关系[2]。一组以概念为结点,以关系为纽带的具有弱抽象、强抽象或广义抽象关系的概念图式叫作概念系。

(二)命题域与命题系

命题包括定理、公理、公式、法则等内容,与一个命题等价的命题图式叫作这个命题的命题域[3]。命题域是个体头脑中的命题网络,命题网络中的所有命题在逻辑意义上都是等价的。例如,如果某个学生学习了命题“同位角相等,两直线平行”后,能够掌握下面的一些等价命题:内错角相等两直线平行,同旁内角互补两直线平行,那么,我们可以说该学生形成了一个命题域。在学生头脑中已经存在的一个命题域中,任意一个命题至少与其他某一个命题具有推出关系,这个命题域形成了一个命题系[4]。

二、基于CPFS结构理论的数学创课案例

(一)课例的基本背景

“导数的几何意义”是人教B版《数学2-2》(选修)第一章第三节的重点内容。在许多实际问题中,学生往往很难直接找到反映某个变化过程的函数关系。而从函数本身引出的导数,也许就是反映该函数变化的一个重要概念。学生已从代数的角度,通过对函数瞬时变化率的分析,初步理解了导数的概念。本节课将从几何的角度,进一步促进学生感知和想象导数的本质,通过数形结合多元理解导数的概念。本课的重点和难点是导数的几何意义,通过类比研究直线的倾斜程度的思想与方法,探讨刻画曲线变化的量,采用动态数学技术突出重点,破解难点。

(二)创课设计及实录评析

1导数概念域的进一步建构

【片段设计】

之前的教学从代数的角度出发,通过对函数瞬时变化率的分析,学生体验了导数的本质:源于函数本身,刻画函数瞬时变化率的量。本节课将从几何的角度进一步阐释导数的本质。首先,学生类比刻画直线倾斜程度的方法,探讨刻画曲线弯曲程度的量;接着,以指数函数的图象为例,学生寻找刻画指数函数的图象变化的量,通过对比分析直线的斜率的表达式与导数的表达式,进一步引导学生猜想指数函数的图象割线的斜率与某点切线斜率的关系;然后,教师通过Hawgent皓骏动态技术演示割线变切线的过程,让学生直观感知经过曲线上某点切线的斜率才是刻画曲线在该点的倾斜程度(变化程度)的量;最后,学生回忆刻画函数变化的量还有平均变化率、函数的单调性和导数,通过比较、分析这些量的内容与表达形式,进一步引导学生构建导数的概念域。

【片段实录】

师:我们知道,刻画直线倾斜程度的量有直线的倾斜角和斜率,那么,刻画曲线譬如指数函数y=2x图象的变化程度或弯曲程度,是否也可以类比直线的倾斜角和斜率呢?大家在自己的练习本上画出指数函数y=2x的图象,认真观察,小组讨论。

生:不可以,曲线是弯的,没有确定的倾斜角和斜率。

生:曲线底部基本是平的,越往上越陡,越来越陡,越来越陡……

生:对啊,函数单调递增,怎么刻画?

生:既然它一直在变,我们怎么能求曲线y=2x的弯曲程度呢?

师:大家积极思考,很棒。虽然曲线不像直线那样保持倾斜程度不变,但我们可以想象将直线弯成曲线,这样原来的直线就成为曲线的一条割线了。能否用割线来说明曲线的大致变化情况?这里我们不妨先在曲线上任意找两个不同的点A和B,连接AB,这条直线就是曲线上经过点A的一条割线。那么,割线的斜率如何表达?

师:如果点A坐标表示为(x0,f(x0)),点B坐标表示为(x0+Δx,f(x0+Δx)),那么直线AB的斜率如何表示呢?

生:kAB=f(x0+Δx)-f(x0)Δx。

師:嗯,表示正确,很好。大家还记得上节课我们学习的导数的表达式吗?

生(兴奋,纷纷抢答):f ′(x0)=

limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。

师:同学们认真观察这两个表达式,看看有什么发现?

生:后者是对前者取的极限。咦?是不是对割线AB的斜率取极限就可以求出点A处的瞬时变化率了?

师:这位同学的猜想是否正确呢?我们不妨一起来验证一下。当点B沿着曲线与点A无限靠近时,你们发现了什么?(教师利用Hawgent皓骏动态技术,演示割线变成切线的动态过程,如图1所示,让学生直观感知点A处切线的生成过程。)

生:割线与直线重合了,而且此时它们的倾斜角相等。

生:割线AB趋向一个确定的位置。

师:嗯,你观察得很仔细。这条确定位置的直线就称为點A处的切线。这里的切线与以前我们学习的切线有什么不同吗?

生:这里的切线是由割线无限逼近得到的,而以前学习的圆的切线是和圆只有一个交点的直线。

生:是的。比如直线CD,它和曲线虽然只有一个交点,但它不是曲线的一条切线。(如图2)

师:的确是这样。当点B无限靠近点A时,也就是Δx越来越小,逐渐逼近0时,就可以反映曲线在点A处的弯曲程度,也就是切线AC的斜率,即曲线在点A处的瞬时变化率,这也说明刚才那位同学的猜想是正确的。你能到黑板上写出对应的数学表达式吗?

生(板书):kAC=limΔx→0ΔyΔx

=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=f ′(x0)。

师:表示正确。你能用自己的话尝试描述导数的几何意义吗?

生:导数就是曲线上某点的斜率。

师:是吗?点有斜率吗?

生:哦,是我搞混了,直线才有斜率。

师:那么,科学的表达应该是什么呢?

生:导数就是曲线上经过某点的切线的斜率。

师:言简意赅,总结到位,非常棒。这就是从几何的角度理解导数的概念,也就是导数的几何意义。可见,切线的斜率能够精确刻画曲线的弯曲程度。

生:老师,我觉得割线的斜率也能反映曲线的弯曲程度啊。

师:哦?是吗?这位同学善于思考和敢于质疑的精神值得我们学习。这位同学的猜想是否正确呢?我们一起来探讨一下。大家仔细观察图3,小组再次讨论,你们发现了什么?(教师利用Hawgent皓骏动态技术演示图3,激发学生思考,小组代表发言。)

生(第一小组代表):老师,我发现您在拖动点B时,y2-y1x2-x1的比值在变化。

生:那不就是说明平均变化率在变化吗?

生(第二小组代表):好像割线的斜率只能大概反映曲线的变化程度,而不能精确刻画。

生(第三小组代表):我们小组发现,当x1

师:大家讨论得很热烈。没错,y2-y1x2-x1的比值在变化,说明平均变化率不是一个固定的值。由单调性定义可知,函数是单调递增的,这样我们就验证了刚才的猜想,只有切线才可以精确刻画曲线上每一点的弯曲程度。函数f(x)在x=x0处的导数就是该点处切线的斜率。那么,刻画函数变化的量还有什么呢?

生:函数的单调性。

生:平均变化率。

师:很不错哦,你记住了学习过的内容。到目前为止,我们一共学习了四个刻画函数变化的量,分别是函数的单调性、平均变化率、瞬时变化率(即导数)和斜率。但是,函数的单调性和平均变化率只能大概反映函数的变化,只有瞬时变化率(即导数)和斜率才可以精确刻画函数图象某一点的变化程度。

【片段评析】

在现实的导数概念教学中,教师往往强调概念的关键信息和注意点,很少从多角度促进学生理解导数的概念。基于CPFS结构理论中的关键词“概念域”,在本教学片段中,通过类比研究直线的倾斜程度,探索精确刻画曲线变化的量——经过曲线上某点的切线的斜率,对比分析直线的斜率与导数的表达式,借助Hawgent皓骏动态技术突出重点,突破难点,不仅有助于学生形成概念域(如图4所示),还起到“授人以鱼”的同时“授人以欲”的作用[5]。

2导数概念域的进一步拓展

【片段设计】

基于CPFS结构理论中的关键词“概念域”,寻找导数表达式的多种变式。首先,教师引导学生理解limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx分子和分母的变式;接着,从整体上通过对limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx正反例的变式,如limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx、limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx等的理解,进一步丰富导数的表达式,促进学生深度理解导数的内容与形式。

【片段实录】

师:到目前,我们已经理解了导数的概念及其几何意义,得到导数的表达式limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。那么,同学们又如何记忆和理解这个表达式的特征呢?我们先来分析分子和分母的特征,分子f(x0+Δx)-f(x0)与分母Δx分别表示什么意思?

生:因变量的增量和自变量的增量。

师:因变量的增量还可以怎么表示呢?

生:Δy。

师:所以,导数还可以怎么表示?

生:limΔx→0ΔyΔx。

生:或者是2Δy、3Δy、4Δy等。

师:嗯,非常棒,看来你对导数表达式的本质已经理解了。你能到黑板上写出相应的导数表达式吗?

生(板书):limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)Δx、

limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)3Δx、limΔx→0f(x0+4Δx)-f(x0)4Δx。

(有学生举手)

生:老师,第一个表达式不是x0处的导数。

师:为什么?说说你的理由。

生:自变量的增量应该是2Δx,表达式应该是limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx。

师:你的思路很清晰。自变量的增量还可以怎么表示呢?

生:x-x0。

师:没错。此时,完整的表达方式应该是什么呢?

生:f ′(x0)=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0。

师:分子也写对了,很不错。这个表达式看起来像什么?

生:函数的单调性表示,只是少了一个取极限。

师:很好。自变量的增量Δx=x-x0是否可以用其他字母代替?

生(犹豫):也是可以的吧……

师:是的,可以换成任何其他字母,比如换成h,那么,这个时候又可以得到一种新的表达方式。哪位同学可以到黑板上尝试写出此表达式?

(学生兴奋,纷纷举手发言)

生(板书):f ′(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0)h。

师:limh→0f(x0+3h)-f(x0)2h这样的表达式是x0处的导数吗?

生:不是。分母应该是3h。

师:回答正确。看来大家对导数的形式化变式的掌握还不错,继续加油!

(教师逐步引导,环环相扣,师生共同探索如图5所示的导数数学表达式的概念域等价链,并指出导数表达式最重要的注意点——整体看待自变量Δx。)

f ′(x0)f ′(x)x=x0y′x=x0limΔx→0ΔyΔx

limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx

limh→0f(x0+h)-f(x0)h

limx→x0f(x)-f(x0)x-x0

limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx

limΔx→0f(x0+3Δx)-f(x0)3Δx

limΔx→0f(x0+aΔx)-f(x0)aΔx(a为非零常数)

图5 导数数学表达式的概念域等价链

【片段评析】

在本部分内容的教学中,很多教师一般只强调f ′(x0)、limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx与limΔx→0ΔyΔx这三种形式,没有从正反变式来理解表达式的结构特征,如此将导致学生虽然听得明白,好像懂了,但面对稍有不同形式的变式,就很难辨认“庐山真面目”。在本片段的教学中,教师对导数概念的表达式的结构特征进行形式化的、变式化的比较和归纳分析,不仅有益于学生形成良好的概念系,而且有益于提升學生的直观想象、数学抽象等数学核心素养,坚定学生的数学学习的信念[6]。

参考文献:

[1]张英伯,曹一鸣,喻平.数学教学心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2010.

[2]徐利治,张鸿庆.数学抽象度概念与抽象度分析法[J].数学研究与评论,1985(2):133

140.

[3]喻平.论数学命题学习[J].数学教育学报,1999(4):2

6.

[4]喻平,单墫.数学学习心理的CPFS结构理论[J].数学教育学报,2003(1):13

14.

[5]唐剑岚.“鱼渔欲”三位一体优化数学教学的理念与策略:以“三角形的内角”课例片段分析为例[J].基础教育研究,2015(9):5

10.

[6]唐剑岚,蒋蜜蜜,肖宝莹.数学认识信念:影响数学学习过程的重要变量[J].课程·教材·教法,2014 (6):61