区间套定理在数学教学中的应用及意义

一、问题的由来

数学思想方法是数学知识的本质,它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。然而,笔者在调研中发现无论是在教还是在学的活动中,教师和学生自觉运用数学的思想与方法去教学或解决数学问题的意识和能力都相当薄弱。这正如涂荣豹教授指出的:“在数学教学中注重知识的传授、记忆和模仿,忽视数学思想方法的渗透和教学的问题仍然比较普遍。”以至于在遇到一些重点教学内容和复杂的数学问题时往往缺少科学有效的解决办法,更难形成一类数学问题解决的思想方法。

案例1 梯形中位线的性质定理是集位置关系和数量关系于一身的重要定理。然而在引导学生猜想梯形中位线性质的问题上,虽然在教学实践和相关文献中有许多方法,但绝大多数教师都因缺少恰当的数学思想方法的指导而没有较为明确的思维方向。许多教师不得不靠创设有较明显暗示的情境来引导学生思考,或者靠降低学生的思维层次让他们通过盲目地多次试验来找到解决问题的方法目。最近在全国性的一个学术活动上,上海某中学教师上的“梯形中位线”观摩课极具代表性。他在引导学生猜想梯形中位线的性质时是这样设计的:教师在黑板上画了8个全等的梯形(意为让学生逐一试验)后提出了供学生探讨的三个问题。问题一:在梯形中画出各边中点连线,并尝试分析画出的线段的情况?问题二:猜想梯形的中位线与梯形的各边有没有特殊的关系?问题三:怎样证明你的猜想?其结果,在降低了部分学生的思维层次和耗费了很多的时间后还有相当数量的学生仍没有发现结论。

案例2笔者曾对50位中学数学教师作了“用尽可能多的方法将一个正方形四等分”的能力测试,“结果能用6种以上(含6种)方法等分的教师仅占28.6%,而且这些方法几乎局限于被等分的部分是全等的图形”,其中仅有3人想出了图1的等分方法。尽管笔者作了“由图2和图3两种四等分方法你能推出第三种四等分方法吗?”的提示,仍有大部分人找不到这种等分方法。

由上述二案例不难看到,缺少数学思想方法指导的数学教学是低效的教学,即使我们通过大量的“试验”和“题海战术”获得的一些解题思路和方法也很难上升到方法论的层面,更难以形成具有宏观指导作用的数学思想。因此,用数学思想方法指导中小学数学教与学已成为提高中小学数学教学质量的一个十分重要而紧迫的课题。

二、区间套定理在中小学数学教学中的应用

1.“关联一互化”关系

中小学数学教学内容中常有如下一类问题:设有M,P,N三个对象满足:①M,P,N之间具有某种内在联系;②通过某种运动或变化,M,P,N均可以相互转化。我们称M,P,N三者具有“关联一互化”关系。

例如,对于梯形ABCD(图5),让其两顶点A,D保持在直线AD上任意滑动,则当A,D两点重合时,便得到了三角形ABC(图4),当AB⊥BC,DC⊥BC时,便得到了长方形ABCD(图6),反之亦然。因此我们说三角形、梯形、长方形具有关联——互化关系。

2.区间套定理对解决“关联一互化”关系问题的启示

区间套定理是《数学分析》中的一个基本定理,其所蕴涵的极限思想和逐步逼近的方法、运动变化的观点对于解决中小学数学教学中具有“关联——互化”关系的一类问题提供了极为重要的思想方法。

对于具有“关联——互化”关系的三个对象M,P,N,按照逐步逼近的思想,三者通过运动或变化可以互相转化,在这个意义上它们形成了类似区间套的关系,因而三者必具有(收敛于)一个共同的性质(极限)。由此我们得到以下启示:设P是一个需要解决的复杂问题,若能找到与P具有“关联—互化”关系的M与N,且P是由M运动或变化到N(或反之)的中间状态,M与N又是较为简单或是已经解决了的问题,则由M与N相同的已然性就可推知(或猜测)P的未然性,即P与M和N应具有相同或类似的性质,从而使复杂问题转化为简单问题。

三、运用区间套定理的启示解决数学问题的几个案例

我们再来看案例1.三角形ABC(图4)、长方形ABCD(图6)与梯形ABCD(图5)形成“关联—互化”关系,且梯形是由三角形变化为长方形(或反过来)的中间图形。

设EF分别是三角形ABC、梯形ABCD和长方形ABCD的中位线(为统一起见,不妨将长方形ABCD的边AB和:CD上中点的连线叫做中位线),则在三角形ABC中,已知EF//BC,且EF=1/2BC,在长方形ABCD中已知EF//BC//AD,且EF=BC=AD=1/2(BC+AD),为了找到三角形和长方形相同的数量关系,并考虑到当梯形的上底长度趋于O时梯形就变为三角形,因而可以把三角形ABC看做上底AD为零的梯形,这样,在三角形ABC中亦有EF=1/2(BC+O)=1/2(BC+AD),这与长方形中的数量关系相同,由此可以猜测梯形中位线也有类似的性质,即梯形的中位线平行于它的两底且等于两底和的一半。

同样,案例2中四等分正方形问题。由图7和图8两种四等分方法,其共同点是过正方形中心的两条互相垂直的直线将正方形四等分,不同点是这两条互相垂直的直线分别过正方形对角顶点和对边中点,只要将图7中互相垂直的两条直线同时绕正方形的中心旋转45°(顺时针或逆时针),便可得到图8,反之也可由图8得到图7,而图9则是由图7变化到图8(或反之)的中间状态。因此,图9与图7、图8形成“关联——互化”关系,故图9也应是一种四等分方法。

案例3四等分长方形问题。正方形是特殊的长方形,运用区间套定理的逼近思想方法,我们还可将案例2的结论推广到长方形的情形:根据图10、图11两种四等分长方形的方法,你还能得到哪种四等分长方形的方法?

分析:图10和图11两种分法的共同点是长方形ABCD被过其中心O的两条直线四等分。以图10为基础,让直线BD和AC各自按一定的速率(这两个速率使得直线BD和AC分别在长、短边上的交点所移动的距离之比等于长方形的长与宽之比)沿某一方向(如逆时针)旋转,这时直线BD与长边BC的交点B移动到B’,移动距离是d=|BB’|,同时直线AC与另一边(短边)AB的交点A移动到A’,移动距离是d’=|AA’|,两直线与长短边的交点分别在长短边上的移动距离d与d’成正比例(见图12)。特别当d=1/2|BC|时d’=1/2|AB|,这时图10就成为图11,而图12则是由图10变化到图11(或反过来)的中间状态,显然,图12与图10、图11形成“关联一互化”关系。因此,图10也是一种四等分分法。

由上分析,以图10的四等分分法为基础,让直线BD和直线AC各自以一定的速率(这两个速率使得直线BD和AC分别在长、短边上的交点所移动的距离之比等于长方形的长与宽之比)绕长方形的中心0旋转,当直线BD运动到B’D’位置时,点

B在长边BC上的位移d=|BB’|,利用点B和点A分别在长方形的长短边上的移动距离成正比的关系找到直线AC上的点A在短边AB上的相应位移d’=|AA’|,即确定出相应的点A’的位置(见图13),便可得到本问题的答案.

解如图13,过长方形的中心O作任一直线与长方形的两长边分别相交于点B’,D’,过B’作B’B”//AB交AD边于点B”,过B”佟B”A’//BD交AB于点A’,过点A’,O作直线A’C’交DC于点C’,则直线B’D’与A’C’将长方形ABCD四等分(证明略)

案例4初中数学“两圆位置关系”中“两圆相交的位置关系”是教学中的一个难点,运用“关联一互化”关系则可轻易地解决这一难点。

如图16,设圆O1的半径为R,圆O2的半径为r,R≥r,圆心距为d,由于两圆相交是两圆从外切(图14)变化到内切(图15)(或反过来)的中间状态,因而相交与外切、内切形成“关联一互化”关系。因为两圆外切时明显有d=R-r,两圆内切时明显有d=R+r,故两圆相交时应有R-r<d<R+r就是很容易理解的事了。

下面再举一个经过拓展(扩大和缩小)后用逼近的思想方法来处理的数学问题。

分析;若用直接相加的方法是十分麻烦的事,按照逼近的思想,只要把“和”适当“放大”和“缩小”,就可使“和”与放大及缩小后的和形成“关联一互化”关系,从而求出解。整数部分为98。

由以上讨论及案例不难看到,运用区间套定理及其所蕴涵的极限思想和逐步逼近的方法、运动变化的观点,我们不仅能顺利解决许多具有明显“关联—互化”关系的数学问题(如案例1—案例4),而且也能经过迁移、拓展、变化解决不具有明显“关联一互化”关系的数学问题(如案例5),更为有价值的是,在中学数学教学中渗透极限和逐步逼近的思想方法,引导学生从运动变化的视角去研究和解决数学问题等,可极大地提升学生的思维水平和解决问题的能力,形成正确处理数学问题的基本策略,使中学、大学各阶段的数学教学得到更好的衔接。

参考文献

[1]涂荣豹,王光明,宁连华。新编数学教学论[M]。上海:华东师范大学出版社,2006:143。

[2]贺素莲。建构主义教学模式下的一堂几何探究课:梯形的中位线[J]数学教学研究,2005(6)。

[3]许兴国。从“梯形的中位线定理”谈定理教学[J]。中学数学(初中版),2008(10)

[4]陈凌,梁倩,陈亚萍。提高贵州省民族地区中小学数学教师实施新课程水平的研究[J]黔南民族师范学院学报,2007(6)。