“三维目标”达成在数学课堂

摘 要:本文是对新课程背景下的一节研究课——“事件的独立性”的点评及引发的一些思考。

关键词:教学设计 独立 问题 目标

中图分类号:G633.6 文献标识码:A文章编号: 1673-1875(2008)10-123-03

高中新课程明确提出了教学的三维目标,即知识与技能,过程与方法,情感态度和价值观的整合。我校一位青年教师在以“高中新课程实施与三维目标解读”为主题的教研活动中上了一节研究课——“事件的独立性”,课后的交流、讨论中参与听课的老师一致认为,这节课显示了这位年青教师对新课程、三维目标的深刻的、具有个性化的理解,以及深厚扎实的教学功底与教育智慧。

一、教学过程简录

1.知识铺垫、认知停靠

教师:我们先在课前复习以下知识为本节课的学习做好准备。

a.什么叫做互斥事件?什么叫做对立事件?b.若事件A、B互斥,则 =

c.若A与B为对立事件,则与关系如何?

d.请说出下列式子意义: 、、、

、、 、、

(以上的问题在教师的引导下分别由学生回答完成)

2.创设情境、引出课题

教师:中国有句古话“三个臭皮匠,赛过一个诸葛亮”。今天我们就从数学的角度来对这个问题进行一下探讨,三个臭皮匠真的能顶上一个诸葛亮吗?(多媒体课件演示)

(教师引导学生用自然语言将情境中的问题转化为数学问题)

我们来进行一个假设:如果对于某一个问题,诸葛亮能解决问题的概率是85%,而甲皮匠解决问题的概率是40%,乙皮匠解决问题的概率是50%,丙皮匠解决问题的概率是60%,那么需要多少个皮匠才能赛过一个诸葛亮呢?

教师:(教师再引导学生将情境中的问题用数学符号语言表示)

设事件A为“甲皮匠解决问题”,事件B为“乙皮匠解决问题”,事件C为“丙皮匠解决问题”,则依题意得: ,

, ,那么事件“两个皮匠解决这个问题”该如何表示呢?事件“三个皮匠解决这个问题”又该如何表示呢?这些事件的概率又是多少呢?

学生: 、 、

教师:事件“三个皮匠解决这个问题”又该如何表示呢?

学生: ,

教师: 对吗?为什么?

学生:不对,;如果事件A,B互斥,

教师:那么其中如何计算呢?

教师:三个皮匠至少一人解决这个问题可以表示为:

,那么这个式子又该如何求解呢?为什么呢?

学生困惑、茫然,产生认知冲突

教师:要解决这些问题,就涉及到本节将要学习的知识,教师揭示课题:事件的独立性。

教师:下面再看这样的一个例子(并辅以多媒体动画)。

甲盒子里有3个白球,2个黑球,乙盒子里有2个白球,2个黑球,从这两个盒子里分别摸出1个球,(1)甲盒子中摸出的是白球的概率和乙盒子是摸出的是白球的概率分别是多少?(2)两个盒子中摸出的都是白球的概率是多少?

(白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑)

(白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑)

(白,白)(白,白)(白,黑)(白,黑)

(黑,白)(黑,白)(黑,白)(黑,白)

(黑,白)(黑,白)(黑,白)(黑,白)

(1)从甲盒子里摸出一个球,得到白球的概率;从乙盒子中摸出一个球,得到白球的概率 ;

(2)在上面5X4种结果中,同时摸出白球的结果有3X2种。因此,从两个盒子里分别摸出一个球,都是白球的概率

由,

我们看到: 。

教师:在上题(1)中,如果把“甲盒子中摸出的是白球”记为A事件,把“乙盒子是摸出的是白球”记为B事件,问事件A(或者B)是否发生对事件B(或者A)发生的概率是否有影响?

(先四人一组讨论,然后全班交流)

定义:用表示第一个试验的全集,用表示第二个试验的全集。如果这两个试验是独立的,就称全集和

独立(independent)。

当事件的全集和 独立,对于和,有,这时也称事件A,B独立。

4.师生活动、探究问题

教师:考虑上题中, 、 、 和

分别等于多少?你能得出什么结论?

学生:、、、

明确:若事件A与事件B是相互独立的,则 =

= 、= =

讨论:如果事件A与事件B是相互独立的,那么A与是否独立呢? 与B是否独立呢? 与呢?

归纳:相互独立事件的性质:

(1)若事件A与事件B是相互独立的,那么A与,与B及 与也都是相互独立的。

(2)若事件A与B是相互独立的,则 ==

5.实践应用、解决问题

例1:同学甲的数学作业得优的概率是0.8,同学乙的语文作业得优的概率为0.7。今天同时留了数学和语文作业,计算甲的数学得优,乙的语文没得优的概率。

解:用A表示甲的数学作业得优,用B表示乙的语文作业没有得优,则 ,

表示甲的数学作业得优,乙的的语文作业没有得优。显然A,B独立,

所以。所以,甲的数学得优,乙的语文没得优的概率为0.24。

例2:如果某个同学每次考试九十分以上的概率都是0.8,则他在十次考试中都在九十分以上的概率是多少?(不考虑心理因素对考试成绩的影响)

解:用表示在第一次考试中得九十分以上;用表示在第二次考试中得九十分以上;……;用表示在第十次考试中得九十分以上,则可以用来表示这个同学在十次考试中都在九十分以上。因为,不考虑心理因素的情况,每次考试的成绩不相互影响,所以 ,,…,是相互独立的。

即:

拓展:如果试验的全集, ,…, 是相互独立的,则对 ,,…,

有 ,这时我们也称事件,,…, 是相互独立的。

例3:一个口袋装有2个白球和2个黑球,把“从中任意摸出1个球,得到白球”记作事件A,把“从剩下的3个球中任意摸出1个球,得到白球”记作事件B,那么:

(1)在先摸出白球后,再摸出白球的概率是多少?(2)在先摸出黑球后,再摸出白球的概率是多少?(3)这里事件A与事件B是相互独立的吗?(4)若第一次取出后放回,再抽取第二次呢?

解:先摸出白球后,再摸出白球的概率可以表示为 ;先摸出黑球后,再摸出白球的概率可以表示为

若第一次取出后放回,再抽取第二次,则第一次抽出白球与第二次抽出白球是相互独立的。

例4:假如到2008年北京奥运会时,凭借着天时、地利、人和的优势,女排夺冠的概率有0.9男排夺冠的概率有0.6,计算:(1)男女排双双夺冠的概率;(2)中国只得到其中一枚金牌的概率;(3)至少有一队夺冠的概率。

解:记“女排夺冠”为事件A,“男排夺冠”为事件B,则A与B相互独立且,

(1)男女排双双夺冠的概率可表示为因为A与B相互独立,则

(2)只得到其中一枚金牌的概率可表示为

∵A与及与B都是相互独立的,

(3)解1:至少有一队夺冠的概率可表示为

∵A与B,A与及与B都是相互独立的,

解2:至少有一队夺冠的概率也可表示为因为与是相互独立的,

所以

6.迁移升华、深化问题

中国有句古话“三个臭皮匠,赛过一个诸葛亮”。今天我们就从数学的角度来对这个问题进行一下探讨,三个臭皮匠真的能赛过一个诸葛亮吗?

设计:我们来进行一个假设:如果对于某一个问题,诸葛亮能想出办法的概率是85%,而甲皮匠想出办法的概率是40%,乙皮匠想出办法的概率是50%,丙皮匠想出办法的概率是60%,且每个必须独立解题,问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较谁大?

学生:先由学生自主回答,然后全班交流给出结论

教师:(回到课前提出的问题)三个皮匠至少一人解决这个问题可以表示为 =

>0.85

明确:力量对比不是十分悬殊的情况下,团队的力量大于个人的力量。

(师生共同小结全课、归纳提高)

小结:相互独立事件的定义;独立事件的判定;独立事件同时发生的概率;集体智慧的力量

作业:(省略)

二、教学特色简评

1.自然流畅地达成了预设知识目标

在本节课的教学过程中,教师始终围绕以学生发展为目标进行教学设计,其教学结构和教学流程的主体框架如下:

综观以上教学环节,教师从古话“三个臭皮匠,赛过一个诸葛亮”……引出课题,通过创设一个有利学生主动学习的氛围,把数学知识与原有的生活经验联系起来,鼓励学生积极地投入到学习活动中来,并很好的做到:一让学生有明确的学习目标,二让学生的智慧受到挑战。在师生的合作、交流、探究的过程中,学生的认识是逐步加深,伴随学生认识的发展,他们的情感体验也是逐步加深的,自然流畅地达成了预设的知识目标。

2 重视知识、过程、方法目标的达成

从数学教学的角度,数学成果获得的思维过程及提炼的思想方法的价值比成果本身大,从这意义上讲,课堂教学中交流不仅仅表现为学生与教师、学生与学生之间的对话,更是学生与数学本质的一种对话,这才是触及学科本质的有效交流。课堂上我们看到教师很善于培育合作与探究学习情境,合作探究令课堂教学充溢活力。

2.1 围绕教学内容的“焦点”处设计问题培育探究精神

教学内容的“焦点”常常会是学生认知矛盾上的焦点,例如重点、难点、疑惑点等.在焦点处设计问题,能激发学生进行积极思维,有利于学生掌握重点、化解难点,有利于教学过程顺畅有效地进行.如:三个皮匠至少一人解决这个问题可以表示为: ,学生困惑、茫然,产生认知冲突时,给出了引例,并由此展开讨论得到“事件的独立性”的定义。

2.2 在知识的“生成点”处设计问题引导学生“再创造”

新课程理念认为,课堂教学应是一个动态生成的过程,现行教材也给师生留出了一定的弹性空间。如在很多地方都有简略处、省略处、概括处、延伸处,这些正是留给师生的创造空间,是极好的生成点.教师要善于利用生成点设计问题,引导学生进行再创造活动。如:在得到独立性的定义后教师又提出:考虑上题(引例)中, 、、

和分别等于多少?你能得出什么结论?如果事件A与事件B是相互独立的,那么A与是否独立呢? 与B是否独立呢?与呢?等等。

2.3 一组例题使知识与技能目标得到提升

课堂中巩固事件的独立性定义和性质的一组例题设计都是具有丰富生活背景的案例,以及案例“从数学的角度来对这个问题进行一下探讨,三个臭皮匠真的能赛过一个诸葛亮吗?”。这组例题的解决,既给了学生实践应用,解决问题机会,也使所学知识得到升华,帮助学生认识到:数学与我有关,与实际生活有关,数学是有用的,我要用数学,我能用数学。

3.课堂活动融合了情感态度价值观目标

以人为本的教育理念成为选择教法的主导思想。通过创设情境,提出问题和要求,从一个环节到另一个环节的学习过程,始终伴随着积极的情感体验,学生积极主动地思考、情趣盎然地探究、兴高采烈地汇报、新的知识和方法自然生成……,最后获得了“事件的独立性”的定义和相互独立事件的性质。由此可见情感态度价值现决不是与其他两个目标截然分开的,而是一个整体,一个好的学习活动本身就已经触合了全部的目标。

三、我们的思考

1.从哲学角度看,人的认识不是一次完成的,而是一个“实践—认识—再实践—再认识”的过程,教学中教师不仅要重视对学生问题经验的传授,更要重视其直接经验的获得.通过恰当的数学思维活动,把数学与实际紧密联系起来,使我们的课堂教学充满生机。

2.从数学学习角度看,由于数学教材通常用演绎的方法把概念、公式、法则等内容互相联合起来的一个统一体。这种形式在一定程度上颠倒了数学的实际发展过程,使得学生对知识的理解、概括、推理处于暂时滞后,教师应为学生创设合适的问题情境,以展现数学本身的发现过程.

3.从学生认知发展的角度看,高中生身心发展趋于成熟,认知核心—思维能力已渐成熟,这就要求我们数学教师必须改变传统的“学生跟着老师走”的思路,变为“教师顺着学生走”,在教学过程中创设有利于教与学双边活动的情景,改变学生没有机会表现自己学习思维的状况。

4.从课改的角度看,数学教学应转向以学生发展为本的方向,注重学生潜能的培养,为学生的终身发展打下基础,学生在课堂教学活动中,不仅是教学的对象,也是教学的资源,在教学中教师与学生,学生与学生之间的互动交流的合作的开展教学的前提。应注重学生的认识,体验感悟等。让学生体验数学问题的探索性和挑战性,使学生真正成为学习的主人。

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京:人民教育出版社.2003.4

[2]陈永平.对当前高中数学课堂教学的认识及建议[J].四川职业技术学院学报,2004,(5):85-86

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文