省编数学新教材“函数”编写意图及教学建议

【摘 要】“函数”作为省编数学新教材的一个核心学习主题,其数学内涵主要包括:函数研究对象、函数研究方法、函数内容与其他数学内容的联系。教学中应在深刻理解函数内容的教材定位和了解本章内容结构的基础上优化教学设计。

【关键词】函数 教材结构 教学设计

若想设计一个合理有效的教学过程,首先应当仔细分析影响教学活动的各个重要因素。这其中,教材是不可忽略的关键要素之一。对省编数学新教材中第三章“函数”内容的分析可以从以下三个方面入手。

一、数学内涵

对数学教材的关注自然离不开对相关内容数学内涵的关注。而“函数”作为本套教材的核心学习主题,其数学内涵主要包括三个部分:

(一)函数研究对象

函数的研究对象是一个“变化过程中两个变量之间的关系”——函数y=f(x)是指,在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个变量x值,根据给定的对应关系f,就可以确定另一个变量y的值,那么我们就称y=f(x)是x的函数。

它与学生先前所研究的“静止的”数学对象不同,比如多项式运算、集合运算、方程(组)、不等式(组)等。那些对象是确定的(尽管可能是未知的、需要求解的),其性质也是固定的,而函数研究的对象是变化的,其性质是不定的,或者说是变化的。这使得数学研究范围明显扩大——由研究固定的、已经发生的现象,延伸到运动的、未来的现象。比如,仅仅关注某个地区已有的气象数据,只能解释或概括该地区已经出现的天气现象,而如果应用函数的知识或方法,建立相关的数学模型,就可以研究该地区一段时期以来天气变化的规律及有关影响因素,最终可以有效预测未来的天气情况,实现有效的天气预报。这事实上也使得数学的应用范围有了明显扩大。但与此同时,研究对象的抽象程度、复杂程度也显著提高——原先的代数式里,抽象的字母a可以代表任意数,但都是确定的(至多是未知的),而现在的抽象字母x不仅是未知的,而且还是变化的,并不特指某个或某几个确定的对象。进一步来说,字母y=f(x)所代表的对象也随着x的变化而变化。

(二)函数研究方法

由于函数研究对象的特殊性,使得相应的研究函数的方法也不同于学生先前所学习的那些数学内容的研究方法——事实上,研究函数的方法不仅仅是学生熟悉的那些运算、比较大小、解方程(组)、解不等式(组),还包括观察图像、表格及寻找规律等。

(三)函数内容与其他数学内容的联系

在职业学校数学教学大纲所列举的数学知识体系内部,函数是一个极为重要的内容,其理由在于:

首先,如上所述,函数是数学研究对象由“静止”向“动态”发展的标志,它的出现使得数学的研究范围大大拓展,更使得研究变量的近代数学成为数学的主流。反过来,也使得函数成为初等数学、微积分的核心研究对象。其次,用函数的观点去研究某些数学对象,还可以发现它们与函数有着或多或少的实质性联系:如二次曲线可以看成是纵坐标y与横坐标x之间的函数关系;数列可以看作是定义在自然数集上的函数;方程的解可以视为函数中y=0时的x坐标值;求解某些不等式可以将该表达式看成是函数解析式,从而借助相应的函数性质去求解。

二、教材结构

上文所阐述的函数特征仅仅是从数学科学的角度认识函数,而数学教材中的“函数”主要是作为“教学任务”的数学内容。从课程的角度来理解函数的意义,首先需要从教材的角度对函数加以理解。

这样的理解包括以下三个方面:

(一)函数内容的教材定位

从数学的角度看,函数内容是相对固定的,但若从数学教学的角度看,不同的教师可以有不同的教学思路或策略,而这“不同”则来自于教师对函数内容的学习定位——学生为什么学函数?学生具有什么样的学习背景?学生应当经历什么样的学习过程?教师应当如何向学生提供有效的学习过程?而对这些问题的回答又主要依据教材所设计的函数内容定位。

由于本版教材的开发目标是“立足于本省职业教育、普通教育以及高等教育特色,要以培养面向未来社会发展所需要的职业人才为课程目标,并能够适应构建新型高等职业教育架构所需要”,因此对函数内容教学的目标定位主要包括:满足学生一般发展,以及符合学生职业学习所需。这表明函数课程的教学不能一味地追求“深奥”的内容,应当以核心部分为基础——包括函数的基本性质,研究函数的主要方法,同时关注发展学生一般能力、利于专业课程学习的内容。例如借助归纳、推理等方法研究函数,应用函数知识与相关方法解决问题等。同时,本版教材秉承“教材是教学活动的基本蓝本”这样一种教材编写理念,对实现上述主要目标所设计的学习路径是让学生从事探究性活动与解决问题活动。

(二)函数内容在教材中的地位

与函数相关的内容在本版教材中占有极为重要的地位:

其一,从内容涉及数量与分布上看,在全套教材中,直接研究函数的共有:函数;指数函数与对数函数;三角函数;反函数与初等函数等四章内容,分布在两册书中。与函数内容密切相关的则包括:三角计算及其应用;坐标变换与参数方程;极限与连续;导数与微分;不定积分;定积分;多元函数微积分学;无穷级数等八章内容,分布在另五册书中。而与函数内容有实质性联系的还可以列出若干,如集合、不等式、数列、二次曲线等。因此,单就内容本身的涉及面而言,函数可说是全套教材分布最广的。

其二,从涉及的具体知识与方法的多样性看,研究函数与应用函数解决问题的学习过程,既涉及具体的初等代数运算——加、减、乘、除、乘方、开方,也涉及初等超越运算——指数运算、对数运算、三角运算,还涉及与无限相关的运算——极限运算、微分运算、积分运算等;同时大量涉及对图像、图表的观察与分析;甚至还不可避免地接触到运用归纳、类比、概括等数学思想方法去探求数学规律、建立数学模型的活动。这些对于发展学生的一般能力至关重要。

(三)本章内容结构

教材对函数的具体定位清晰地反映在教材构成上。以下对教材的设计进行较为细致的分析。

1.教学目标

本章教学目标一共四条,分别是:

(1)探究具体情境中的函数关系,把握函数概念的实质;(2)理解函数不同表达方式的优势和局限,能够根据问题的特征和要求,采用适当的方式表示函数关系,并对函数的变化趋势做出合理的预测;(3)能够借助函数的图像、表格或解析式研究函数的单调性、奇偶性,并理解相关性质在实际情境中的含义;(4)能够运用函数的知识和方法解释一些现实情境中的现象,解决一些简单的问题。

教学目标表明:本章教学的具体目标(智力活动方面)有两类:过程性目标即第(1)条和结果性目标即第(2)条、第(3)条、第(4)条。而结果性目标又包括理解函数本身和应用函数解决问题两类。

特别需要提醒的是:过程性目标不应当被忽略,事实上它的达成非常有利于后续目标的实现。

2.教材基本结构

本章共有五节,主要内容可以分为三个部分:(1)函数的概念,函数的表示法;(2)函数的性质(单调性、奇偶性);(3)函数的实际应用。

其设计思路分别是:第(1)部分主要关注过程性目标,即通过让学生从事探究性活动,经历对函数相关知识的“从感性到理性的认知过程”,获得“基于自我活动经验的函数知识与方法”;第(2)部分则让学生借助图像和表格等直观的方式,从观察具体函数实例的相关特征入手,获得关于函数的单调性和奇偶性的初步理解,再用数学语言和符号描述、分析函数的单调性和奇偶性,以获得对相关内容的进一步理解;第(3)部分以语言、图像、表格和数学符号等方式呈现具有多种背景、不同复杂程度的现实问题,让学生经历运用函数的知识、方法解决简单现实问题的过程。

特别需要提醒的是:第(2)部分内容的学习过程蕴含着研究问题方法的学习——从图像、表格等直观手段入手,进而发展到用数学语言和符号去分析问题。它是提高学生解决问题能力的关键之处。

3.各节要点与设计思路

第一节属于“承上启下”的内容:一方面从学生初中已经学过的函数概念出发,引出函数的新定义,另一方面体现出学习新知识是从学生熟悉的现象入手。

第二节的表示法也是学生初中阶段接触过的内容,但所涉及的案例在背景的丰富性和复杂性方面有所提升,特别是在函数新定义之下所进行的表示法优劣性解释还是个难点。同时,这也是学生后续应用函数知识与方法解决问题的基础。

第三节内容本身是非常直观的,基本设计思路也是从直观出发,逐渐获得理性认识。图像的有效应用是个关键,而借助代数语言表达相关内容特征则是难点。

第四节内容与第三节类似——在内容特征与设计思路方面,以及难点和关键部分。

第五节与上述各节均不相同,但又联系密切。首先,本节内容的知识基础是上述各节,特别是第三、四节中函数的相关性质;其次,本节学习活动中的方法与第一、二节的相应方法密不可分。因此本节可以称为“综合应用”部分。

需要特别提醒的是:上述各节内容学习过程必须让学生经历“从直观到理性”的认识过程——一方面有助于学生理解相关知识,更重要的还在于它是一个方法的学习过程;同时应依据教材的要求,尽可能让学生借助电脑进行相关内容的探究活动。

关于习题,如果需要补充,应多选择一些基本问题和应用型问题,而不宜选用过于抽象、复杂的“纯数学”难题。

三、教学设计

一般而言,职业学校学生的“数学水平”不太高,而其具体表现多为:数学基础较弱——对抽象程度高、数学内涵丰富的概念、定理的理解较为肤浅,甚至不记得一些重要的数学概念和定理、法则;解题能力不强——特别“不善于求解抽象、复杂,数学技巧要求高”的纯数学题。但他们中的相当一部分却对以图像或具体数值表示的内容有相对较好的处理能力,而函数内容本身就有抽象性强的特点。因此,在教学过程中应尽可能“扬长避短”,多借助具体实例、多采用直观方式引入知识,使得“抽象源于具体”,而不宜采取从抽象到抽象的“纯数学式”讨论。同时,本章内容要求适度,绝大多数学生都可以在学习活动中掌握。影响学生获得成功的最主要原因是他们没有兴趣从事相关内容的学习。由于函数内容在现实生活中可以找到许多真实的背景,因此教学活动的展开应当尽可能设法与学生的兴趣挂钩。例如,在函数概念的教学过程中,可以通过设计“学生自主举例”的方式,让他们在自己感兴趣的事物中“发现函数关系”、确定“定义域”和“值域”、选用“表示法”,从而加深对函数概念的理解等。

另外,按照上述教材整体设计,对于函数概念及其性质的理解是一个不断渐进的过程,本章只是一个起始点,不宜在这方面对学生提出较高的要求,后续的学习过程会带学生进一步理解。不同的学生在这里获得的发展水平也不尽相同,教学过程中应关注不同层次发展的需求。例如,对于单调性、奇偶性内容的教学,直观说明函数单调性、奇偶性特点可以作为基本要求,而采用代数符号方式的表述和推理则只能针对部分有进一步学习需求和能力的学生。

特别需要提醒的是:本章中涉及的许多具体知识是后续函数内容学习的基础,而研究方法更是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的共性方法,应当在教学过程中予以必要的关注。例如,类似于第一节“探究”等活动中列出的若干问题,大体上涵盖了研究函数基本内涵的各个方面,可以在教学过程中给予必要的升华——包括研究函数的对应、定义域、值域、单调性、对称性(奇偶性)等。而借助图像探究函数性质的方法则是后续研究一般函数的最基本方法,应当在教学过程中让学生有充分的尝试机会。建立数学模型解决实际问题是发展学生应用数学能力的重要步骤,第五节的诸多实例给学生提供了较多的实践机会,教学过程中应尽可能让学生亲身经历“获取数学信息,分析数学关系,建立数学模型”的过程。

(作者单位:南京师范大学教师教育学院)